Решете 1/x+4/x+1+1=15/x

$$\frac { 1 } { x } + \frac { 4 } { x + 1 } + 1 = \frac { 15 } { x }$$

Решаване за x

$$x = \frac{\sqrt{137} + 9}{2} \approx 10,352349955$$

$$x=\frac{9-\sqrt{137}}{2}\approx -1,352349955$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -1,0, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с x\left(x+1\right) – най-малкия общ множител на x,x+1.

$$x+1+x\times 4+x\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\times 15$$

Групирайте x и x\times 4, за да получите 5x.

$$5x+1+x\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\times 15$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x по x+1.

$$5x+1+x^{2}+x=\left(x+1\right)\times 15$$

Групирайте 5x и x, за да получите 6x.

$$6x+1+x^{2}=\left(x+1\right)\times 15$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+1 по 15.

$$6x+1+x^{2}=15x+15$$

Извадете 15x и от двете страни.

$$6x+1+x^{2}-15x=15$$

Групирайте 6x и -15x, за да получите -9x.

$$-9x+1+x^{2}=15$$

Извадете 15 и от двете страни.

$$-9x+1+x^{2}-15=0$$

Извадете 15 от 1, за да получите -14.

$$-9x-14+x^{2}=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$x^{2}-9x-14=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 1 вместо a, -9 вместо b и -14 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\left(-14\right)}}{2}$$

Повдигане на квадрат на -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\left(-14\right)}}{2}$$

Умножете -4 по -14.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+56}}{2}$$

Съберете 81 с 56.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{137}}{2}$$

Противоположното на -9 е 9.

$$x=\frac{9±\sqrt{137}}{2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{9±\sqrt{137}}{2}, когато ± е плюс. Съберете 9 с \sqrt{137}.

$$x=\frac{\sqrt{137}+9}{2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{9±\sqrt{137}}{2}, когато ± е минус. Извадете \sqrt{137} от 9.

$$x=\frac{9-\sqrt{137}}{2}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{\sqrt{137}+9}{2} x=\frac{9-\sqrt{137}}{2}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -1,0, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с x\left(x+1\right) – най-малкия общ множител на x,x+1.

$$x+1+x\times 4+x\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\times 15$$

Групирайте x и x\times 4, за да получите 5x.

$$5x+1+x\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\times 15$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x по x+1.

$$5x+1+x^{2}+x=\left(x+1\right)\times 15$$

Групирайте 5x и x, за да получите 6x.

$$6x+1+x^{2}=\left(x+1\right)\times 15$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x+1 по 15.

$$6x+1+x^{2}=15x+15$$

Извадете 15x и от двете страни.

$$6x+1+x^{2}-15x=15$$

Групирайте 6x и -15x, за да получите -9x.

$$-9x+1+x^{2}=15$$

Извадете 1 и от двете страни.

$$-9x+x^{2}=15-1$$

Извадете 1 от 15, за да получите 14.

$$-9x+x^{2}=14$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-9x=14$$

Разделете -9 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{9}{2}. След това съберете квадрата на -\frac{9}{2} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-9x+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}=14+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{9}{2}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=14+\frac{81}{4}$$

Съберете 14 с \frac{81}{4}.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=\frac{137}{4}$$

Разложете на множител x^{2}-9x+\frac{81}{4}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{137}{4}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{137}{4}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{9}{2}=\frac{\sqrt{137}}{2} x-\frac{9}{2}=-\frac{\sqrt{137}}{2}$$

Съберете \frac{9}{2} към двете страни на уравнението.

$$x=\frac{\sqrt{137}+9}{2} x=\frac{9-\sqrt{137}}{2}$$