Решете 1/x^2+x-2+1/x^2+7x+10+1/x^2+13x+40=1/3x-3-frac{1}{21}

$$\frac { 1 } { x ^ { 2 } + x - 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 7 x + 10 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 13 x + 40 } = \frac { 1 } { 3 x - 3 } - \frac { 1 } { 21 }$$

Решаване за x

$$x=-1$$

Стъпки на решението

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -8,-5,-2,1, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с 21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right) – най-малкия общ множител на x^{2}+x-2,x^{2}+7x+10,x^{2}+13x+40,3x-3,21.

$$21\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 21 по x+5.

$$\left(21x+105\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 21x+105 по x+8 и да групирате подобните членове.

$$21x^{2}+273x+840+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 21 по x-1.

$$21x^{2}+273x+840+\left(21x-21\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 21x-21 по x+8 и да групирате подобните членове.

$$21x^{2}+273x+840+21x^{2}+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Групирайте 21x^{2} и 21x^{2}, за да получите 42x^{2}.

$$42x^{2}+273x+840+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Групирайте 273x и 147x, за да получите 420x.

$$42x^{2}+420x+840-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Извадете 168 от 840, за да получите 672.

$$42x^{2}+420x+672+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 21 по x+2.

$$42x^{2}+420x+672+\left(21x+42\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 21x+42 по x-1 и да групирате подобните членове.

$$42x^{2}+420x+672+21x^{2}+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Групирайте 42x^{2} и 21x^{2}, за да получите 63x^{2}.

$$63x^{2}+420x+672+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Групирайте 420x и 21x, за да получите 441x.

$$63x^{2}+441x+672-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Извадете 42 от 672, за да получите 630.

$$63x^{2}+441x+630=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 7 по x+2.

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x+14\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 7x+14 по x+5 и да групирате подобните членове.

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x^{2}+49x+70\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 7x^{2}+49x+70 по x+8 и да групирате подобните членове.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Умножете 21 по -\frac{1}{21}, за да получите -1.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -1 по x-1.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -x+1 по x+2 и да групирате подобните членове.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{2}-x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -x^{2}-x+2 по x+5 и да групирате подобните членове.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{3}-6x^{2}-3x+10\right)\left(x+8\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -x^{3}-6x^{2}-3x+10 по x+8 и да групирате подобните членове.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-14x^{3}-51x^{2}-14x+80$$

Групирайте 7x^{3} и -14x^{3}, за да получите -7x^{3}.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-51x^{2}-14x+80$$

Групирайте 105x^{2} и -51x^{2}, за да получите 54x^{2}.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+462x+560-x^{4}-14x+80$$

Групирайте 462x и -14x, за да получите 448x.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+560-x^{4}+80$$

Съберете 560 и 80, за да се получи 640.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

Добавете 7x^{3} от двете страни.

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}=54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

Извадете 54x^{2} и от двете страни.

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}-54x^{2}=448x+640-x^{4}$$

Групирайте 63x^{2} и -54x^{2}, за да получите 9x^{2}.

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}=448x+640-x^{4}$$

Извадете 448x и от двете страни.

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}-448x=640-x^{4}$$

Групирайте 441x и -448x, за да получите -7x.

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}=640-x^{4}$$

Извадете 640 и от двете страни.

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}-640=-x^{4}$$

Извадете 640 от 630, за да получите -10.

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}=-x^{4}$$

Добавете x^{4} от двете страни.

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}+x^{4}=0$$

Преобразувайте уравнението в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -10, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±10,±5,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=1$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10 на x-1, за да получите x^{3}+8x^{2}+17x+10. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{3}+8x^{2}+17x+10=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 10, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±10,±5,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=-1$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{3}+8x^{2}+17x+10 на x+1, за да получите x^{2}+7x+10. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{2}+7x+10=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, 7 за b и 10 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 1\times 10}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{-7±3}{2}$$

Решете уравнението x^{2}+7x+10=0, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$x=-5 x=-2$$

Премахване на стойностите, на които не може да е равна променливата.

$$x=-1$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$x=1 x=-1 x=-5 x=-2$$

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите 1,-5,-2.

$$x=-1$$