Решете 1/x+40+1/x=1/48

$$\frac { 1 } { x + 40 } + \frac { 1 } { x } = \frac { 1 } { 48 }$$

Решаване за x

$$x=-24$$

$$x=80$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -40,0, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с 48x\left(x+40\right) – най-малкия общ множител на x+40,x,48.

$$48x+48x+1920=x\left(x+40\right)$$

Групирайте 48x и 48x, за да получите 96x.

$$96x+1920=x\left(x+40\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x по x+40.

$$96x+1920=x^{2}+40x$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$96x+1920-x^{2}=40x$$

Извадете 40x и от двете страни.

$$96x+1920-x^{2}-40x=0$$

Групирайте 96x и -40x, за да получите 56x.

$$56x+1920-x^{2}=0$$

Преобразувайте полинома в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$-x^{2}+56x+1920=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като -x^{2}+ax+bx+1920. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=56 ab=-1920=-1920$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -1920 на продукта.

$$-1,1920 -2,960 -3,640 -4,480 -5,384 -6,320 -8,240 -10,192 -12,160 -15,128 -16,120 -20,96 -24,80 -30,64 -32,60 -40,48$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+1920=1919 -2+960=958 -3+640=637 -4+480=476 -5+384=379 -6+320=314 -8+240=232 -10+192=182 -12+160=148 -15+128=113 -16+120=104 -20+96=76 -24+80=56 -30+64=34 -32+60=28 -40+48=8$$

Решението е двойката, която дава сума 56.

$$a=80 b=-24$$

Напишете -x^{2}+56x+1920 като \left(-x^{2}+80x\right)+\left(-24x+1920\right).

$$\left(-x^{2}+80x\right)+\left(-24x+1920\right)$$

Фактор, -x в първата и -24 във втората група.

$$-x\left(x-80\right)-24\left(x-80\right)$$

Разложете на множители общия член x-80, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-80\right)\left(-x-24\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-80=0 и -x-24=0.

$$x=80 x=-24$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -40,0, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с 48x\left(x+40\right) – най-малкия общ множител на x+40,x,48.

$$48x+48x+1920=x\left(x+40\right)$$

Групирайте 48x и 48x, за да получите 96x.

$$96x+1920=x\left(x+40\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x по x+40.

$$96x+1920=x^{2}+40x$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$96x+1920-x^{2}=40x$$

Извадете 40x и от двете страни.

$$96x+1920-x^{2}-40x=0$$

Групирайте 96x и -40x, за да получите 56x.

$$56x+1920-x^{2}=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-x^{2}+56x+1920=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -1 вместо a, 56 вместо b и 1920 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-56±\sqrt{56^{2}-4\left(-1\right)\times 1920}}{2\left(-1\right)}$$

Повдигане на квадрат на 56.

$$x=\frac{-56±\sqrt{3136-4\left(-1\right)\times 1920}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете -4 по -1.

$$x=\frac{-56±\sqrt{3136+4\times 1920}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 4 по 1920.

$$x=\frac{-56±\sqrt{3136+7680}}{2\left(-1\right)}$$

Съберете 3136 с 7680.

$$x=\frac{-56±\sqrt{10816}}{2\left(-1\right)}$$

Получете корен квадратен от 10816.

$$x=\frac{-56±104}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 2 по -1.

$$x=\frac{-56±104}{-2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-56±104}{-2}, когато ± е плюс. Съберете -56 с 104.

$$x=\frac{48}{-2}$$

Разделете 48 на -2.

$$x=-24$$

Сега решете уравнението x=\frac{-56±104}{-2}, когато ± е минус. Извадете 104 от -56.

$$x=-\frac{160}{-2}$$

Разделете -160 на -2.

$$x=80$$

Уравнението сега е решено.

$$x=-24 x=80$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -40,0, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с 48x\left(x+40\right) – най-малкия общ множител на x+40,x,48.

$$48x+48x+1920=x\left(x+40\right)$$

Групирайте 48x и 48x, за да получите 96x.

$$96x+1920=x\left(x+40\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x по x+40.

$$96x+1920=x^{2}+40x$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$96x+1920-x^{2}=40x$$

Извадете 40x и от двете страни.

$$96x+1920-x^{2}-40x=0$$

Групирайте 96x и -40x, за да получите 56x.

$$56x+1920-x^{2}=0$$

Извадете 1920 и от двете страни. Нещо, извадено от нула, дава отрицателната му стойност.

$$56x-x^{2}=-1920$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+56x=-1920$$

Разделете двете страни на -1.

$$\frac{-x^{2}+56x}{-1}=-\frac{1920}{-1}$$

Делението на -1 отменя умножението по -1.

$$x^{2}+\frac{56}{-1}x=-\frac{1920}{-1}$$

Разделете 56 на -1.

$$x^{2}-56x=-\frac{1920}{-1}$$

Разделете -1920 на -1.

$$x^{2}-56x=1920$$

Разделете -56 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -28. След това съберете квадрата на -28 с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-56x+\left(-28\right)^{2}=1920+\left(-28\right)^{2}$$

Повдигане на квадрат на -28.

$$x^{2}-56x+784=1920+784$$

Съберете 1920 с 784.

$$x^{2}-56x+784=2704$$

Разложете на множител x^{2}-56x+784. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-28\right)^{2}=2704$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-28\right)^{2}}=\sqrt{2704}$$

Опростявайте.

$$x-28=52 x-28=-52$$

Съберете 28 към двете страни на уравнението.

$$x=80 x=-24$$