Решете 1/9x^2-6x+1+16/15x^2+25x-10=1/3x-1

$$\frac { 1 } { 9 x ^ { 2 } - 6 x + 1 } + \frac { 16 } { 15 x ^ { 2 } + 25 x - 10 } = \frac { 1 } { 3 x - 1 }$$

Решаване за x

$$x=-\frac{2}{15}\approx -0,133333333$$

$$x=2$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -2,\frac{1}{3}, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с 5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)^{2} – най-малкия общ множител на 9x^{2}-6x+1,15x^{2}+25x-10,3x-1.

$$5x+10+\left(3x-1\right)\times 16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 3x-1 по 16.

$$5x+10+48x-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Групирайте 5x и 48x, за да получите 53x.

$$53x+10-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Извадете 16 от 10, за да получите -6.

$$53x-6=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 5 по x+2.

$$53x-6=\left(5x+10\right)\left(3x-1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 5x+10 по 3x-1 и да групирате подобните членове.

$$53x-6=15x^{2}+25x-10$$

Извадете 15x^{2} и от двете страни.

$$53x-6-15x^{2}=25x-10$$

Извадете 25x и от двете страни.

$$53x-6-15x^{2}-25x=-10$$

Групирайте 53x и -25x, за да получите 28x.

$$28x-6-15x^{2}=-10$$

Добавете 10 от двете страни.

$$28x-6-15x^{2}+10=0$$

Съберете -6 и 10, за да се получи 4.

$$28x+4-15x^{2}=0$$

Преобразувайте полинома в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$-15x^{2}+28x+4=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като -15x^{2}+ax+bx+4. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=28 ab=-15\times 4=-60$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -60 на продукта.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Решението е двойката, която дава сума 28.

$$a=30 b=-2$$

Напишете -15x^{2}+28x+4 като \left(-15x^{2}+30x\right)+\left(-2x+4\right).

$$\left(-15x^{2}+30x\right)+\left(-2x+4\right)$$

Фактор, 15x в първата и 2 във втората група.

$$15x\left(-x+2\right)+2\left(-x+2\right)$$

Разложете на множители общия член -x+2, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(-x+2\right)\left(15x+2\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете -x+2=0 и 15x+2=0.

$$x=2 x=-\frac{2}{15}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -2,\frac{1}{3}, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с 5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)^{2} – най-малкия общ множител на 9x^{2}-6x+1,15x^{2}+25x-10,3x-1.

$$5x+10+\left(3x-1\right)\times 16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 3x-1 по 16.

$$5x+10+48x-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Групирайте 5x и 48x, за да получите 53x.

$$53x+10-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Извадете 16 от 10, за да получите -6.

$$53x-6=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 5 по x+2.

$$53x-6=\left(5x+10\right)\left(3x-1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 5x+10 по 3x-1 и да групирате подобните членове.

$$53x-6=15x^{2}+25x-10$$

Извадете 15x^{2} и от двете страни.

$$53x-6-15x^{2}=25x-10$$

Извадете 25x и от двете страни.

$$53x-6-15x^{2}-25x=-10$$

Групирайте 53x и -25x, за да получите 28x.

$$28x-6-15x^{2}=-10$$

Добавете 10 от двете страни.

$$28x-6-15x^{2}+10=0$$

Съберете -6 и 10, за да се получи 4.

$$28x+4-15x^{2}=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-15x^{2}+28x+4=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -15 вместо a, 28 вместо b и 4 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\left(-15\right)\times 4}}{2\left(-15\right)}$$

Повдигане на квадрат на 28.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\left(-15\right)\times 4}}{2\left(-15\right)}$$

Умножете -4 по -15.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784+60\times 4}}{2\left(-15\right)}$$

Умножете 60 по 4.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784+240}}{2\left(-15\right)}$$

Съберете 784 с 240.

$$x=\frac{-28±\sqrt{1024}}{2\left(-15\right)}$$

Получете корен квадратен от 1024.

$$x=\frac{-28±32}{2\left(-15\right)}$$

Умножете 2 по -15.

$$x=\frac{-28±32}{-30}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-28±32}{-30}, когато ± е плюс. Съберете -28 с 32.

$$x=\frac{4}{-30}$$

Намаляване на дробта \frac{4}{-30} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x=-\frac{2}{15}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-28±32}{-30}, когато ± е минус. Извадете 32 от -28.

$$x=-\frac{60}{-30}$$

Разделете -60 на -30.

$$x=2$$

Уравнението сега е решено.

$$x=-\frac{2}{15} x=2$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -2,\frac{1}{3}, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с 5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)^{2} – най-малкия общ множител на 9x^{2}-6x+1,15x^{2}+25x-10,3x-1.

$$5x+10+\left(3x-1\right)\times 16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 3x-1 по 16.

$$5x+10+48x-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Групирайте 5x и 48x, за да получите 53x.

$$53x+10-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Извадете 16 от 10, за да получите -6.

$$53x-6=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 5 по x+2.

$$53x-6=\left(5x+10\right)\left(3x-1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 5x+10 по 3x-1 и да групирате подобните членове.

$$53x-6=15x^{2}+25x-10$$

Извадете 15x^{2} и от двете страни.

$$53x-6-15x^{2}=25x-10$$

Извадете 25x и от двете страни.

$$53x-6-15x^{2}-25x=-10$$

Групирайте 53x и -25x, за да получите 28x.

$$28x-6-15x^{2}=-10$$

Добавете 6 от двете страни.

$$28x-15x^{2}=-10+6$$

Съберете -10 и 6, за да се получи -4.

$$28x-15x^{2}=-4$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$-15x^{2}+28x=-4$$

Разделете двете страни на -15.

$$\frac{-15x^{2}+28x}{-15}=-\frac{4}{-15}$$

Делението на -15 отменя умножението по -15.

$$x^{2}+\frac{28}{-15}x=-\frac{4}{-15}$$

Разделете 28 на -15.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x=-\frac{4}{-15}$$

Разделете -4 на -15.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x=\frac{4}{15}$$

Разделете -\frac{28}{15} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{14}{15}. След това съберете квадрата на -\frac{14}{15} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x+\left(-\frac{14}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(-\frac{14}{15}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{14}{15}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x+\frac{196}{225}=\frac{4}{15}+\frac{196}{225}$$

Съберете \frac{4}{15} и \frac{196}{225}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x+\frac{196}{225}=\frac{256}{225}$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{28}{15}x+\frac{196}{225}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{14}{15}\right)^{2}=\frac{256}{225}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{14}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{256}{225}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{14}{15}=\frac{16}{15} x-\frac{14}{15}=-\frac{16}{15}$$

Съберете \frac{14}{15} към двете страни на уравнението.

$$x=2 x=-\frac{2}{15}$$