Решете 1/3x^2+4/5x=1

$$\frac { 1 } { 3 } x ^ { 2 } + \frac { 4 } { 5 } x = 1$$

Решаване за x

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5}\approx 0,907130751$$

$$x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}\approx -3,307130751$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x=1$$

Извадете 1 и от двете страни на уравнението.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x-1=1-1$$

Изваждане на 1 от самото него дава 0.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x-1=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете \frac{1}{3} вместо a, \frac{4}{5} вместо b и -1 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\left(\frac{4}{5}\right)^{2}-4\times \frac{1}{3}\left(-1\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Повдигнете на квадрат \frac{4}{5}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{16}{25}-4\times \frac{1}{3}\left(-1\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Умножете -4 по \frac{1}{3}.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{16}{25}-\frac{4}{3}\left(-1\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Умножете -\frac{4}{3} по -1.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{16}{25}+\frac{4}{3}}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Съберете \frac{16}{25} и \frac{4}{3}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{148}{75}}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Получете корен квадратен от \frac{148}{75}.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Умножете 2 по \frac{1}{3}.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{\frac{2}{3}}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{\frac{2}{3}}, когато ± е плюс. Съберете -\frac{4}{5} с \frac{2\sqrt{111}}{15}.

$$x=\frac{\frac{2\sqrt{111}}{15}-\frac{4}{5}}{\frac{2}{3}}$$

Разделете -\frac{4}{5}+\frac{2\sqrt{111}}{15} на \frac{2}{3} чрез умножаване на -\frac{4}{5}+\frac{2\sqrt{111}}{15} по обратната стойност на \frac{2}{3}.

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{\frac{2}{3}}, когато ± е минус. Извадете \frac{2\sqrt{111}}{15} от -\frac{4}{5}.

$$x=\frac{-\frac{2\sqrt{111}}{15}-\frac{4}{5}}{\frac{2}{3}}$$

Разделете -\frac{4}{5}-\frac{2\sqrt{111}}{15} на \frac{2}{3} чрез умножаване на -\frac{4}{5}-\frac{2\sqrt{111}}{15} по обратната стойност на \frac{2}{3}.

$$x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5} x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x=1$$

Умножете и двете страни по 3.

$$\frac{\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{1}{3}}$$

Делението на \frac{1}{3} отменя умножението по \frac{1}{3}.

$$x^{2}+\frac{\frac{4}{5}}{\frac{1}{3}}x=\frac{1}{\frac{1}{3}}$$

Разделете \frac{4}{5} на \frac{1}{3} чрез умножаване на \frac{4}{5} по обратната стойност на \frac{1}{3}.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x=\frac{1}{\frac{1}{3}}$$

Разделете 1 на \frac{1}{3} чрез умножаване на 1 по обратната стойност на \frac{1}{3}.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x=3$$

Разделете \frac{12}{5} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{6}{5}. След това съберете квадрата на \frac{6}{5} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}=3+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{6}{5}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=3+\frac{36}{25}$$

Съберете 3 с \frac{36}{25}.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{111}{25}$$

Разложете на множител x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{111}{25}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{111}{25}}$$

Опростявайте.

$$x+\frac{6}{5}=\frac{\sqrt{111}}{5} x+\frac{6}{5}=-\frac{\sqrt{111}}{5}$$

Извадете \frac{6}{5} и от двете страни на уравнението.

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5} x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}$$