Решете -(x+1)(x-3)/(x-1)^2+1=42

$$\frac { - ( x + 1 ) ( x - 3 ) } { ( x - 1 ) ^ { 2 } } + 1 = 42$$

Решаване за x

$$x=\frac{\sqrt{42}}{21}+1\approx 1,3086067$$

$$x=-\frac{\sqrt{42}}{21}+1\approx 0,6913933$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Променливата x не може да бъде равна на 1, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението по \left(x-1\right)^{2}.

$$\left(-\left(x+1\right)\right)\left(x-3\right)+\left(x-1\right)^{2}=42\left(x-1\right)^{2}$$

За да намерите противоположната стойност на x+1, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$\left(-x-1\right)\left(x-3\right)+\left(x-1\right)^{2}=42\left(x-1\right)^{2}$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -x-1 по x-3 и да групирате подобните членове.

$$-x^{2}+2x+3+\left(x-1\right)^{2}=42\left(x-1\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(x-1\right)^{2}.

$$-x^{2}+2x+3+x^{2}-2x+1=42\left(x-1\right)^{2}$$

Групирайте -x^{2} и x^{2}, за да получите 0.

$$2x+3-2x+1=42\left(x-1\right)^{2}$$

Групирайте 2x и -2x, за да получите 0.

$$3+1=42\left(x-1\right)^{2}$$

Съберете 3 и 1, за да се получи 4.

$$4=42\left(x-1\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(x-1\right)^{2}.

$$4=42\left(x^{2}-2x+1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 42 по x^{2}-2x+1.

$$4=42x^{2}-84x+42$$

Разменете страните, така че всички променливи членове да са от лявата страна.

$$42x^{2}-84x+42=4$$

Извадете 4 и от двете страни.

$$42x^{2}-84x+42-4=0$$

Извадете 4 от 42, за да получите 38.

$$42x^{2}-84x+38=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 42 вместо a, -84 вместо b и 38 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-84\right)±\sqrt{\left(-84\right)^{2}-4\times 42\times 38}}{2\times 42}$$

Повдигане на квадрат на -84.

$$x=\frac{-\left(-84\right)±\sqrt{7056-4\times 42\times 38}}{2\times 42}$$

Умножете -4 по 42.

$$x=\frac{-\left(-84\right)±\sqrt{7056-168\times 38}}{2\times 42}$$

Умножете -168 по 38.

$$x=\frac{-\left(-84\right)±\sqrt{7056-6384}}{2\times 42}$$

Съберете 7056 с -6384.

$$x=\frac{-\left(-84\right)±\sqrt{672}}{2\times 42}$$

Получете корен квадратен от 672.

$$x=\frac{-\left(-84\right)±4\sqrt{42}}{2\times 42}$$

Противоположното на -84 е 84.

$$x=\frac{84±4\sqrt{42}}{2\times 42}$$

Умножете 2 по 42.

$$x=\frac{84±4\sqrt{42}}{84}$$

Сега решете уравнението x=\frac{84±4\sqrt{42}}{84}, когато ± е плюс. Съберете 84 с 4\sqrt{42}.

$$x=\frac{4\sqrt{42}+84}{84}$$

Разделете 84+4\sqrt{42} на 84.

$$x=\frac{\sqrt{42}}{21}+1$$

Сега решете уравнението x=\frac{84±4\sqrt{42}}{84}, когато ± е минус. Извадете 4\sqrt{42} от 84.

$$x=\frac{84-4\sqrt{42}}{84}$$

Разделете 84-4\sqrt{42} на 84.

$$x=-\frac{\sqrt{42}}{21}+1$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{\sqrt{42}}{21}+1 x=-\frac{\sqrt{42}}{21}+1$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Променливата x не може да бъде равна на 1, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението по \left(x-1\right)^{2}.

$$\left(-\left(x+1\right)\right)\left(x-3\right)+\left(x-1\right)^{2}=42\left(x-1\right)^{2}$$

За да намерите противоположната стойност на x+1, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$\left(-x-1\right)\left(x-3\right)+\left(x-1\right)^{2}=42\left(x-1\right)^{2}$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -x-1 по x-3 и да групирате подобните членове.

$$-x^{2}+2x+3+\left(x-1\right)^{2}=42\left(x-1\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(x-1\right)^{2}.

$$-x^{2}+2x+3+x^{2}-2x+1=42\left(x-1\right)^{2}$$

Групирайте -x^{2} и x^{2}, за да получите 0.

$$2x+3-2x+1=42\left(x-1\right)^{2}$$

Групирайте 2x и -2x, за да получите 0.

$$3+1=42\left(x-1\right)^{2}$$

Съберете 3 и 1, за да се получи 4.

$$4=42\left(x-1\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(x-1\right)^{2}.

$$4=42\left(x^{2}-2x+1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 42 по x^{2}-2x+1.

$$4=42x^{2}-84x+42$$

Разменете страните, така че всички променливи членове да са от лявата страна.

$$42x^{2}-84x+42=4$$

Извадете 42 и от двете страни.

$$42x^{2}-84x=4-42$$

Извадете 42 от 4, за да получите -38.

$$42x^{2}-84x=-38$$

Разделете двете страни на 42.

$$\frac{42x^{2}-84x}{42}=-\frac{38}{42}$$

Делението на 42 отменя умножението по 42.

$$x^{2}+\left(-\frac{84}{42}\right)x=-\frac{38}{42}$$

Разделете -84 на 42.

$$x^{2}-2x=-\frac{38}{42}$$

Намаляване на дробта \frac{-38}{42} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x^{2}-2x=-\frac{19}{21}$$

Разделете -2 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -1. След това съберете квадрата на -1 с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-2x+1=-\frac{19}{21}+1$$

Съберете -\frac{19}{21} с 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{2}{21}$$

Разложете на множител x^{2}-2x+1. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{2}{21}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2}{21}}$$

Опростявайте.

$$x-1=\frac{\sqrt{42}}{21} x-1=-\frac{\sqrt{42}}{21}$$

Съберете 1 към двете страни на уравнението.

$$x=\frac{\sqrt{42}}{21}+1 x=-\frac{\sqrt{42}}{21}+1$$