Решете (x+3)(6-x)/1-4x^2=-1/4

$$\frac { ( x + 3 ) ( 6 - x ) } { 1 - 4 x ^ { 2 } } = - \frac { 1 } { 4 }$$

Решаване за x

$$x = \frac{\sqrt{155} + 3}{4} \approx 3,862474899$$

$$x=\frac{3-\sqrt{155}}{4}\approx -2,362474899$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -\frac{1}{2},\frac{1}{2}, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с 4\left(2x-1\right)\left(2x+1\right) – най-малкия общ множител на 1-4x^{2},4.

$$-4\left(x+3\right)\left(6-x\right)=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -4 по x+3.

$$\left(-4x-12\right)\left(6-x\right)=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -4x-12 по 6-x и да групирате подобните членове.

$$-12x+4x^{2}-72=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -1 по 2x-1.

$$-12x+4x^{2}-72=\left(-2x+1\right)\left(2x+1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -2x+1 по 2x+1 и да групирате подобните членове.

$$-12x+4x^{2}-72=-4x^{2}+1$$

Добавете 4x^{2} от двете страни.

$$-12x+4x^{2}-72+4x^{2}=1$$

Групирайте 4x^{2} и 4x^{2}, за да получите 8x^{2}.

$$-12x+8x^{2}-72=1$$

Извадете 1 и от двете страни.

$$-12x+8x^{2}-72-1=0$$

Извадете 1 от -72, за да получите -73.

$$-12x+8x^{2}-73=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$8x^{2}-12x-73=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 8 вместо a, -12 вместо b и -73 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 8\left(-73\right)}}{2\times 8}$$

Повдигане на квадрат на -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 8\left(-73\right)}}{2\times 8}$$

Умножете -4 по 8.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-32\left(-73\right)}}{2\times 8}$$

Умножете -32 по -73.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+2336}}{2\times 8}$$

Съберете 144 с 2336.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{2480}}{2\times 8}$$

Получете корен квадратен от 2480.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4\sqrt{155}}{2\times 8}$$

Противоположното на -12 е 12.

$$x=\frac{12±4\sqrt{155}}{2\times 8}$$

Умножете 2 по 8.

$$x=\frac{12±4\sqrt{155}}{16}$$

Сега решете уравнението x=\frac{12±4\sqrt{155}}{16}, когато ± е плюс. Съберете 12 с 4\sqrt{155}.

$$x=\frac{4\sqrt{155}+12}{16}$$

Разделете 12+4\sqrt{155} на 16.

$$x=\frac{\sqrt{155}+3}{4}$$

Сега решете уравнението x=\frac{12±4\sqrt{155}}{16}, когато ± е минус. Извадете 4\sqrt{155} от 12.

$$x=\frac{12-4\sqrt{155}}{16}$$

Разделете 12-4\sqrt{155} на 16.

$$x=\frac{3-\sqrt{155}}{4}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{\sqrt{155}+3}{4} x=\frac{3-\sqrt{155}}{4}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -\frac{1}{2},\frac{1}{2}, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението с 4\left(2x-1\right)\left(2x+1\right) – най-малкия общ множител на 1-4x^{2},4.

$$-4\left(x+3\right)\left(6-x\right)=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -4 по x+3.

$$\left(-4x-12\right)\left(6-x\right)=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -4x-12 по 6-x и да групирате подобните членове.

$$-12x+4x^{2}-72=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -1 по 2x-1.

$$-12x+4x^{2}-72=\left(-2x+1\right)\left(2x+1\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -2x+1 по 2x+1 и да групирате подобните членове.

$$-12x+4x^{2}-72=-4x^{2}+1$$

Добавете 4x^{2} от двете страни.

$$-12x+4x^{2}-72+4x^{2}=1$$

Групирайте 4x^{2} и 4x^{2}, за да получите 8x^{2}.

$$-12x+8x^{2}-72=1$$

Добавете 72 от двете страни.

$$-12x+8x^{2}=1+72$$

Съберете 1 и 72, за да се получи 73.

$$-12x+8x^{2}=73$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}-12x=73$$

Разделете двете страни на 8.

$$\frac{8x^{2}-12x}{8}=\frac{73}{8}$$

Делението на 8 отменя умножението по 8.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{8}\right)x=\frac{73}{8}$$

Намаляване на дробта \frac{-12}{8} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 4.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{73}{8}$$

Разделете -\frac{3}{2} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{3}{4}. След това съберете квадрата на -\frac{3}{4} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{73}{8}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{3}{4}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{73}{8}+\frac{9}{16}$$

Съберете \frac{73}{8} и \frac{9}{16}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{155}{16}$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{155}{16}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{155}{16}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{155}}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{155}}{4}$$

Съберете \frac{3}{4} към двете страни на уравнението.

$$x=\frac{\sqrt{155}+3}{4} x=\frac{3-\sqrt{155}}{4}$$