Решете [2/3(x-3)]^2=16*7-x/2

$$[ \frac { 2 } { 3 } ( x - 3 ) ] ^ { 2 } = 16 \times \frac { 7 - x } { 2 }$$

Решаване за x

$$x=3\sqrt{17}-6\approx 6,369316877$$

$$x=-3\sqrt{17}-6\approx -18,369316877$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Умножете и двете страни на уравнението по 2.

$$2\times \left(\frac{2}{3}\left(x-3\right)\right)^{2}=16\left(7-x\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите \frac{2}{3} по x-3.

$$2\left(\frac{2}{3}x-2\right)^{2}=16\left(7-x\right)$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(\frac{2}{3}x-2\right)^{2}.

$$2\left(\frac{4}{9}x^{2}-\frac{8}{3}x+4\right)=16\left(7-x\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2 по \frac{4}{9}x^{2}-\frac{8}{3}x+4.

$$\frac{8}{9}x^{2}-\frac{16}{3}x+8=16\left(7-x\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 16 по 7-x.

$$\frac{8}{9}x^{2}-\frac{16}{3}x+8=112-16x$$

Извадете 112 и от двете страни.

$$\frac{8}{9}x^{2}-\frac{16}{3}x+8-112=-16x$$

Извадете 112 от 8, за да получите -104.

$$\frac{8}{9}x^{2}-\frac{16}{3}x-104=-16x$$

Добавете 16x от двете страни.

$$\frac{8}{9}x^{2}-\frac{16}{3}x-104+16x=0$$

Групирайте -\frac{16}{3}x и 16x, за да получите \frac{32}{3}x.

$$\frac{8}{9}x^{2}+\frac{32}{3}x-104=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете \frac{8}{9} вместо a, \frac{32}{3} вместо b и -104 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{32}{3}±\sqrt{\left(\frac{32}{3}\right)^{2}-4\times \frac{8}{9}\left(-104\right)}}{2\times \frac{8}{9}}$$

Повдигнете на квадрат \frac{32}{3}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x=\frac{-\frac{32}{3}±\sqrt{\frac{1024}{9}-4\times \frac{8}{9}\left(-104\right)}}{2\times \frac{8}{9}}$$

Умножете -4 по \frac{8}{9}.

$$x=\frac{-\frac{32}{3}±\sqrt{\frac{1024}{9}-\frac{32}{9}\left(-104\right)}}{2\times \frac{8}{9}}$$

Умножете -\frac{32}{9} по -104.

$$x=\frac{-\frac{32}{3}±\sqrt{\frac{1024+3328}{9}}}{2\times \frac{8}{9}}$$

Съберете \frac{1024}{9} и \frac{3328}{9}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x=\frac{-\frac{32}{3}±\sqrt{\frac{4352}{9}}}{2\times \frac{8}{9}}$$

Получете корен квадратен от \frac{4352}{9}.

$$x=\frac{-\frac{32}{3}±\frac{16\sqrt{17}}{3}}{2\times \frac{8}{9}}$$

Умножете 2 по \frac{8}{9}.

$$x=\frac{-\frac{32}{3}±\frac{16\sqrt{17}}{3}}{\frac{16}{9}}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-\frac{32}{3}±\frac{16\sqrt{17}}{3}}{\frac{16}{9}}, когато ± е плюс. Съберете -\frac{32}{3} с \frac{16\sqrt{17}}{3}.

$$x=\frac{16\sqrt{17}-32}{\frac{16}{9}\times 3}$$

Разделете \frac{-32+16\sqrt{17}}{3} на \frac{16}{9} чрез умножаване на \frac{-32+16\sqrt{17}}{3} по обратната стойност на \frac{16}{9}.

$$x=3\sqrt{17}-6$$

Сега решете уравнението x=\frac{-\frac{32}{3}±\frac{16\sqrt{17}}{3}}{\frac{16}{9}}, когато ± е минус. Извадете \frac{16\sqrt{17}}{3} от -\frac{32}{3}.

$$x=\frac{-16\sqrt{17}-32}{\frac{16}{9}\times 3}$$

Разделете \frac{-32-16\sqrt{17}}{3} на \frac{16}{9} чрез умножаване на \frac{-32-16\sqrt{17}}{3} по обратната стойност на \frac{16}{9}.

$$x=-3\sqrt{17}-6$$

Уравнението сега е решено.

$$x=3\sqrt{17}-6 x=-3\sqrt{17}-6$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Умножете и двете страни на уравнението по 2.

$$2\times \left(\frac{2}{3}\left(x-3\right)\right)^{2}=16\left(7-x\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите \frac{2}{3} по x-3.

$$2\left(\frac{2}{3}x-2\right)^{2}=16\left(7-x\right)$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(\frac{2}{3}x-2\right)^{2}.

$$2\left(\frac{4}{9}x^{2}-\frac{8}{3}x+4\right)=16\left(7-x\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2 по \frac{4}{9}x^{2}-\frac{8}{3}x+4.

$$\frac{8}{9}x^{2}-\frac{16}{3}x+8=16\left(7-x\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 16 по 7-x.

$$\frac{8}{9}x^{2}-\frac{16}{3}x+8=112-16x$$

Добавете 16x от двете страни.

$$\frac{8}{9}x^{2}-\frac{16}{3}x+8+16x=112$$

Групирайте -\frac{16}{3}x и 16x, за да получите \frac{32}{3}x.

$$\frac{8}{9}x^{2}+\frac{32}{3}x+8=112$$

Извадете 8 и от двете страни.

$$\frac{8}{9}x^{2}+\frac{32}{3}x=112-8$$

Извадете 8 от 112, за да получите 104.

$$\frac{8}{9}x^{2}+\frac{32}{3}x=104$$

Разделете двете страни на уравнението на \frac{8}{9}, което е същото като умножаване на двете страни по обратната стойност на дробта.

$$\frac{\frac{8}{9}x^{2}+\frac{32}{3}x}{\frac{8}{9}}=\frac{104}{\frac{8}{9}}$$

Делението на \frac{8}{9} отменя умножението по \frac{8}{9}.

$$x^{2}+\frac{\frac{32}{3}}{\frac{8}{9}}x=\frac{104}{\frac{8}{9}}$$

Разделете \frac{32}{3} на \frac{8}{9} чрез умножаване на \frac{32}{3} по обратната стойност на \frac{8}{9}.

$$x^{2}+12x=\frac{104}{\frac{8}{9}}$$

Разделете 104 на \frac{8}{9} чрез умножаване на 104 по обратната стойност на \frac{8}{9}.

$$x^{2}+12x=117$$

Разделете 12 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите 6. След това съберете квадрата на 6 с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+12x+6^{2}=117+6^{2}$$

Повдигане на квадрат на 6.

$$x^{2}+12x+36=117+36$$

Съберете 117 с 36.

$$x^{2}+12x+36=153$$

Разложете на множител x^{2}+12x+36. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=153$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{153}$$

Опростявайте.

$$x+6=3\sqrt{17} x+6=-3\sqrt{17}$$

Извадете 6 и от двете страни на уравнението.

$$x=3\sqrt{17}-6 x=-3\sqrt{17}-6$$