Решете =8x^2-22x+15

$$= 8 x ^ { 2 } - 22 x + 15$$

Разлагане на множители

$$\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)$$

Стъпки на решението

Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като 8x^{2}+ax+bx+15. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-22 ab=8\times 15=120$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е отрицателен, a и b са отрицателни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 120 на продукта.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Решението е двойката, която дава сума -22.

$$a=-12 b=-10$$

Напишете 8x^{2}-22x+15 като \left(8x^{2}-12x\right)+\left(-10x+15\right).

$$\left(8x^{2}-12x\right)+\left(-10x+15\right)$$

Фактор, 4x в първата и -5 във втората група.

$$4x\left(2x-3\right)-5\left(2x-3\right)$$

Разложете на множители общия член 2x-3, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$8x^{2}-22x+15=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 8\times 15}}{2\times 8}$$

Повдигане на квадрат на -22.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 8\times 15}}{2\times 8}$$

Умножете -4 по 8.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-32\times 15}}{2\times 8}$$

Умножете -32 по 15.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-480}}{2\times 8}$$

Съберете 484 с -480.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{4}}{2\times 8}$$

Получете корен квадратен от 4.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±2}{2\times 8}$$

Противоположното на -22 е 22.

$$x=\frac{22±2}{2\times 8}$$

Умножете 2 по 8.

$$x=\frac{22±2}{16}$$

Сега решете уравнението x=\frac{22±2}{16}, когато ± е плюс. Съберете 22 с 2.

$$x=\frac{24}{16}$$

Намаляване на дробта \frac{24}{16} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 8.

$$x=\frac{3}{2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{22±2}{16}, когато ± е минус. Извадете 2 от 22.

$$x=\frac{20}{16}$$

Намаляване на дробта \frac{20}{16} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 4.

$$x=\frac{5}{4}$$

Разложете на множители първоначалния израз, като използвате ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Заместете x_{1} с \frac{3}{2} и x_{2} с \frac{5}{4}.

$$8x^{2}-22x+15=8\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x-\frac{5}{4}\right)$$

Извадете \frac{3}{2} от x, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$8x^{2}-22x+15=8\times \frac{2x-3}{2}\left(x-\frac{5}{4}\right)$$

Извадете \frac{5}{4} от x, като намерите общ знаменател и извадите числителите. След това съкратете дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$8x^{2}-22x+15=8\times \frac{2x-3}{2}\times \frac{4x-5}{4}$$

Умножете \frac{2x-3}{2} по \frac{4x-5}{4}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател. След това съкратете дробта до най-малкия възможен брой членове.

$$8x^{2}-22x+15=8\times \frac{\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)}{2\times 4}$$

Умножете 2 по 4.

$$8x^{2}-22x+15=8\times \frac{\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)}{8}$$

Съкратете най-големия общ множител 8 в 8 и 8.

$$8x^{2}-22x+15=\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)$$

Изчисляване

$$\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)$$