Решете =20x^4+31x^2-9

$$= 20 x ^ { 4 } + 31 x ^ { 2 } - 9$$

Разлагане на множители

$$\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)\left(5x^{2}+9\right)$$

Стъпки на решението

За да възложите израза, решете уравнението, където то е равно на 0.

$$20x^{4}+31x^{2}-9=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -9, а q разделя водещия коефициент 20. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{20},±\frac{9}{10},±\frac{9}{5},±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{20},±\frac{3}{10},±\frac{3}{5},±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{20},±\frac{1}{10},±\frac{1}{5},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=\frac{1}{2}$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете 20x^{4}+31x^{2}-9 на 2\left(x-\frac{1}{2}\right)=2x-1, за да получите 10x^{3}+5x^{2}+18x+9. За да възложите резултата, решете уравнението, където то е равно на 0.

$$10x^{3}+5x^{2}+18x+9=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 9, а q разделя водещия коефициент 10. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{10},±\frac{9}{5},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{10},±\frac{3}{5},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{10},±\frac{1}{5},±\frac{1}{2},±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете 10x^{3}+5x^{2}+18x+9 на 2\left(x+\frac{1}{2}\right)=2x+1, за да получите 5x^{2}+9. За да възложите резултата, решете уравнението, където то е равно на 0.

$$5x^{2}+9=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 5 за a, 0 за b и 9 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{0±\sqrt{-180}}{10}$$

Полиномът 5x^{2}+9 не е разложен на множители, тъй като няма рационални корени.

$$5x^{2}+9$$

Пренапишете разложения на множители израз с помощта на получените корени.

$$\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)\left(5x^{2}+9\right)$$

Изчисляване

$$20x^{4}+31x^{2}-9$$