Решете +(1+5x)(100-x)=10

$$+ ( 1 + 5 x ) ( 100 - x ) = 10$$

Решаване за x

$$x = \frac{\sqrt{250801} + 499}{10} \approx 99,980035942$$

$$x=\frac{499-\sqrt{250801}}{10}\approx -0,180035942$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 1+5x по 100-x и да групирате подобните членове.

$$100+499x-5x^{2}=10$$

Извадете 10 и от двете страни.

$$100+499x-5x^{2}-10=0$$

Извадете 10 от 100, за да получите 90.

$$90+499x-5x^{2}=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-5x^{2}+499x+90=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -5 вместо a, 499 вместо b и 90 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-499±\sqrt{499^{2}-4\left(-5\right)\times 90}}{2\left(-5\right)}$$

Повдигане на квадрат на 499.

$$x=\frac{-499±\sqrt{249001-4\left(-5\right)\times 90}}{2\left(-5\right)}$$

Умножете -4 по -5.

$$x=\frac{-499±\sqrt{249001+20\times 90}}{2\left(-5\right)}$$

Умножете 20 по 90.

$$x=\frac{-499±\sqrt{249001+1800}}{2\left(-5\right)}$$

Съберете 249001 с 1800.

$$x=\frac{-499±\sqrt{250801}}{2\left(-5\right)}$$

Умножете 2 по -5.

$$x=\frac{-499±\sqrt{250801}}{-10}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-499±\sqrt{250801}}{-10}, когато ± е плюс. Съберете -499 с \sqrt{250801}.

$$x=\frac{\sqrt{250801}-499}{-10}$$

Разделете -499+\sqrt{250801} на -10.

$$x=\frac{499-\sqrt{250801}}{10}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-499±\sqrt{250801}}{-10}, когато ± е минус. Извадете \sqrt{250801} от -499.

$$x=\frac{-\sqrt{250801}-499}{-10}$$

Разделете -499-\sqrt{250801} на -10.

$$x=\frac{\sqrt{250801}+499}{10}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{499-\sqrt{250801}}{10} x=\frac{\sqrt{250801}+499}{10}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 1+5x по 100-x и да групирате подобните членове.

$$100+499x-5x^{2}=10$$

Извадете 100 и от двете страни.

$$499x-5x^{2}=10-100$$

Извадете 100 от 10, за да получите -90.

$$499x-5x^{2}=-90$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$-5x^{2}+499x=-90$$

Разделете двете страни на -5.

$$\frac{-5x^{2}+499x}{-5}=-\frac{90}{-5}$$

Делението на -5 отменя умножението по -5.

$$x^{2}+\frac{499}{-5}x=-\frac{90}{-5}$$

Разделете 499 на -5.

$$x^{2}-\frac{499}{5}x=-\frac{90}{-5}$$

Разделете -90 на -5.

$$x^{2}-\frac{499}{5}x=18$$

Разделете -\frac{499}{5} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{499}{10}. След това съберете квадрата на -\frac{499}{10} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{499}{5}x+\left(-\frac{499}{10}\right)^{2}=18+\left(-\frac{499}{10}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{499}{10}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{499}{5}x+\frac{249001}{100}=18+\frac{249001}{100}$$

Съберете 18 с \frac{249001}{100}.

$$x^{2}-\frac{499}{5}x+\frac{249001}{100}=\frac{250801}{100}$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{499}{5}x+\frac{249001}{100}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{499}{10}\right)^{2}=\frac{250801}{100}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{499}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{250801}{100}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{499}{10}=\frac{\sqrt{250801}}{10} x-\frac{499}{10}=-\frac{\sqrt{250801}}{10}$$

Съберете \frac{499}{10} към двете страни на уравнението.

$$x=\frac{\sqrt{250801}+499}{10} x=\frac{499-\sqrt{250801}}{10}$$