n^2-11n-60=0

$$n ^ { 2 } - 11 n - 60 = 0$$

n üçün həll et

$$n=-4$$

$$n=15$$

Əmsallara Ayırmadan İstifadə Mərhələləri

Tənliyi həll etmək üçün n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right) düsturundan istifadə edərək n^{2}-11n-60 tənliyini əmsallarına ayırın. a və b ədədini tapmaq üçün həll ediləcək sistem qurun.

$$a+b=-11 ab=-60$$

ab mənfi olduğu üçün a və b ədədlərinin əks işarələri var. a+b mənfi olduğu üçün mənfi rəqəmin müsbətdən daha böyük mütləq qiyməti var. -60 hasilini verən bütün belə tam ədəd cütlərini siyahıda qeyd edin.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Hər cüt üçün cəmi hesablayın.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Həll -11 cəmini verən cütdür.

$$a=-15 b=4$$

Əldə olunan qiymətlərdən istifadə etməklə vuruqlara ayrılan \left(n+a\right)\left(n+b\right) ifadəsini yenidən yazın.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Tənliyin həllərini tapmaq üçün n-15=0 və n+4=0 ifadələrini həll edin.

$$n=15 n=-4$$

Qruplaşdırmaqla Əmsallara Ayırmadan İstifadə Mərhələləri

Tənliyi həll etmək üçün qruplaşdırmaqla sol əl tərəfi əmsallarına ayırın. Əvvəlcə sol əl tərəf n^{2}+an+bn-60 kimi yazılmalıdır. a və b ədədini tapmaq üçün həll ediləcək sistem qurun.

$$a+b=-11 ab=1\left(-60\right)=-60$$

ab mənfi olduğu üçün a və b ədədlərinin əks işarələri var. a+b mənfi olduğu üçün mənfi rəqəmin müsbətdən daha böyük mütləq qiyməti var. -60 hasilini verən bütün belə tam ədəd cütlərini siyahıda qeyd edin.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Hər cüt üçün cəmi hesablayın.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Həll -11 cəmini verən cütdür.

$$a=-15 b=4$$

n^{2}-11n-60 \left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right) kimi yenidən yazılsın.

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right)$$

Birinci qrupda n ədədini və ikinci qrupda isə 4 ədədini vurub çıxarın.

$$n\left(n-15\right)+4\left(n-15\right)$$

Paylayıcı xüsusiyyətini istifadə etməklə n-15 ümumi ifadəsi vurulanlara ayrılsın.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Tənliyin həllərini tapmaq üçün n-15=0 və n+4=0 ifadələrini həll edin.

$$n=15 n=-4$$

Kvadratlar Düsturundan İstifadə Mərhələləri

ax^{2}+bx+c=0 formasının bütün tənlikləri kvadratlar düsturundan istifadə edərək həll edilə bilər: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratlar düsturu biri ± toplama olduqda və digəri çıxma olduqda iki həll verir.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Bu tənlik standart formadadır: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrat tənliyin kökləri düsturundakı a üçün 1, b üçün -11 və c üçün -60 ilə \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} əvəz edin.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-60\right)}}{2}$$

Kvadrat -11.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-60\right)}}{2}$$

-4 ədədini -60 dəfə vurun.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2}$$

121 240 qrupuna əlavə edin.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2}$$

361 kvadrat kökünü alın.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±19}{2}$$

-11 rəqəminin əksi budur: 11.

$$n=\frac{11±19}{2}$$

İndi ± plyus olsa n=\frac{11±19}{2} tənliyini həll edin. 11 19 qrupuna əlavə edin.

$$n=\frac{30}{2}$$

30 ədədini 2 ədədinə bölün.

$$n=15$$

İndi ± minus olsa n=\frac{11±19}{2} tənliyini həll edin. 11 ədədindən 19 ədədini çıxın.

$$n=-\frac{8}{2}$$

-8 ədədini 2 ədədinə bölün.

$$n=-4$$

Tənlik indi həll edilib.

$$n=15 n=-4$$

Kvadratın Tamamlanması üçün Mərhələlər

Bunun kimi kvadratik tənliklər kvadratı tamamlamaqla həll edilə bilər. Kvadratı tamamlamaqla, tənlik əvvəlcə x^{2}+bx=c formasında olmalıdır.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Tənliyin hər iki tərəfinə 60 əlavə edin.

$$n^{2}-11n-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

-60 ədədindən özünün çıxılması 0-a bərabərdir.

$$n^{2}-11n=-\left(-60\right)$$

0 ədədindən -60 ədədini çıxın.

$$n^{2}-11n=60$$

x həddinin əmsalı olan -11 ədədini -\frac{11}{2} almaq üçün 2-yə bölün. Daha sonra tənliyin hər iki tərəfinə -\frac{11}{2} kvadratını əlavə edin. Bu mərhələ tənliyin sol tərəfini tam kvadrat edir.

$$n^{2}-11n+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Kəsrin həm surəti, həm də məxrəcini kvadratlaşdırmaqla -\frac{11}{2} kvadratlaşdırın.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=60+\frac{121}{4}$$

60 \frac{121}{4} qrupuna əlavə edin.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=\frac{361}{4}$$

Faktor n^{2}-11n+\frac{121}{4}. Ümumiyyətlə, x^{2}+bx+c tam kvadrat olduqda həmişə \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} kimi vuruqlara ayrıla bilər.

$$\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

Tənliyin hər iki tərəfinin kvadrat kökünü aparın.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

Sadələşdirin.

$$n-\frac{11}{2}=\frac{19}{2} n-\frac{11}{2}=-\frac{19}{2}$$

Tənliyin hər iki tərəfinə \frac{11}{2} əlavə edin.

$$n=15 n=-4$$