4x-y=5text{and}5y-4x=7

$$4 x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

x, y üçün həll et

$$x=2$$

$$y=3$$

Əvəzləmədən İstifadə Mərhələləri

Əvəzləmədən istifadə edərək tənliklər cütünü həll etmək üçün əvvəlcə dəyişənlərdən biri üçün tənliklərdən birini həll edin. Daha sonra digər tənlikdə həmin dəyişən üçün nəticəni əvəz edin.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Tənliklərdən birini seçin və bərabərlik işarəsinin sol tərəfində x işarəsi üçün x təcrid etməklə həll edin.

$$4x-y=5$$

Tənliyin hər iki tərəfinə y əlavə edin.

$$4x=y+5$$

Hər iki tərəfi 4 rəqəminə bölün.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+5\right)$$

\frac{1}{4} ədədini y+5 dəfə vurun.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}$$

Digər tənlikdə, -4x+5y=7 x üçün \frac{5+y}{4} ilə əvəz edin.

$$-4\left(\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}\right)+5y=7$$

-4 ədədini \frac{5+y}{4} dəfə vurun.

$$-y-5+5y=7$$

-y 5y qrupuna əlavə edin.

$$4y-5=7$$

Tənliyin hər iki tərəfinə 5 əlavə edin.

$$4y=12$$

Hər iki tərəfi 4 rəqəminə bölün.

$$y=3$$

x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4} tənliyində y üçün 3 ilə əvəz edin. Nəticələnən tənlik yalnız bir dəyişəndən ibarət olduğu üçün siz x üçün həll edə bilərsiniz.

$$x=\frac{1}{4}\times 3+\frac{5}{4}$$

\frac{1}{4} ədədini 3 dəfə vurun.

$$x=\frac{3+5}{4}$$

Ortaq məxrəci tapmaqla və surətləri əlavə etməklə \frac{5}{4} kəsrini \frac{3}{4} kəsrinə əlavə edin. Daha sonra mümkündürsə, kəsri ən aşağı həddə qədər azaldın.

$$x=2$$

Sistem indi həll edilib.

$$x=2,y=3$$

Matrislərdən İstifadə Mərhələləri

Tənliyi standart formaya salın və tənliklər sistemini həll etmək üçün matrislərdən istifadə edin.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Tənlikləri matris formasında yazın.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Tənliyi \left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right) əks matrisi ilə solda vurun.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Matris məhsulu və onun əksi eynilik matrisidir.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Matrisləri bərabərlik nişanının sol tərəfində vurun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matrisi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) üçün tərs matris \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), buna görə matris tənliyi matris vurma problemi kimi yenidən yazıla bilər.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Hesablamanı yerinə yetirin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{1}{16}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Matrisləri vurun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\times 5+\frac{1}{16}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

Hesablamanı yerinə yetirin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

x və y matris elementlərini çıxarın.

$$x=2,y=3$$

Kənarlaşdırmadan İstifadə Mərhələləri

Kənarlaşdırmaya əsasən həll etmək üçün dəyişənlərdən birinin əmsalları hər iki tənlikdə eyni olmalıdır ki, bir tənlikdən digəri çıxıldıqda dəyişən silinə bilsin.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

4x və -4x bərabər etmək üçün ilk tənliyin hər bir tərəfində olan həddləri -4-yə və ikincinin hər bir tərəfində olan həddləri 4-ə vurun.

$$-4\times 4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,4\left(-4\right)x+4\times 5y=4\times 7$$

Sadələşdirin.

$$-16x+4y=-20,-16x+20y=28$$

Bərabərlik işarəsinin hər tərəfində həddlər kimi çıxmaqla -16x+4y=-20 tənliyindən -16x+20y=28 tənliyini çıxın.

$$-16x+16x+4y-20y=-20-28$$

-16x 16x qrupuna əlavə edin. Tənliyə yalnız bir həll edilə bilən dəyişən qoyaraq, -16x və 16x şərtləri silinir.

$$4y-20y=-20-28$$

4y -20y qrupuna əlavə edin.

$$-16y=-20-28$$

-20 -28 qrupuna əlavə edin.

$$-16y=-48$$

Hər iki tərəfi -16 rəqəminə bölün.

$$y=3$$

-4x+5y=7 tənliyində y üçün 3 ilə əvəz edin. Nəticələnən tənlik yalnız bir dəyişəndən ibarət olduğu üçün siz x üçün həll edə bilərsiniz.

$$-4x+5\times 3=7$$

5 ədədini 3 dəfə vurun.

$$-4x+15=7$$

Tənliyin hər iki tərəfindən 15 çıxın.

$$-4x=-8$$

Hər iki tərəfi -4 rəqəminə bölün.

$$x=2$$

Sistem indi həll edilib.

$$x=2,y=3$$