4x^2-20x-11=0

$$4 x ^ { 2 } - 20 x - 11 = 0$$

x üçün həll et

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5,5$$

Qruplaşdırmaqla Əmsallara Ayırmadan İstifadə Mərhələləri

Tənliyi həll etmək üçün qruplaşdırmaqla sol əl tərəfi əmsallarına ayırın. Əvvəlcə sol əl tərəf 4x^{2}+ax+bx-11 kimi yazılmalıdır. a və b ədədini tapmaq üçün həll ediləcək sistem qurun.

$$a+b=-20 ab=4\left(-11\right)=-44$$

ab mənfi olduğu üçün a və b ədədlərinin əks işarələri var. a+b mənfi olduğu üçün mənfi rəqəmin müsbətdən daha böyük mütləq qiyməti var. -44 hasilini verən bütün belə tam ədəd cütlərini siyahıda qeyd edin.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

Hər cüt üçün cəmi hesablayın.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

Həll -20 cəmini verən cütdür.

$$a=-22 b=2$$

4x^{2}-20x-11 \left(4x^{2}-22x\right)+\left(2x-11\right) kimi yenidən yazılsın.

$$\left(4x^{2}-22x\right)+\left(2x-11\right)$$

4x^{2}-22x-də 2x vurulanlara ayrılsın.

$$2x\left(2x-11\right)+2x-11$$

Paylayıcı xüsusiyyətini istifadə etməklə 2x-11 ümumi ifadəsi vurulanlara ayrılsın.

$$\left(2x-11\right)\left(2x+1\right)$$

Tənliyin həllərini tapmaq üçün 2x-11=0 və 2x+1=0 ifadələrini həll edin.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Kvadratlar Düsturundan İstifadə Mərhələləri

ax^{2}+bx+c=0 formasının bütün tənlikləri kvadratlar düsturundan istifadə edərək həll edilə bilər: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratlar düsturu biri ± toplama olduqda və digəri çıxma olduqda iki həll verir.

$$4x^{2}-20x-11=0$$

Bu tənlik standart formadadır: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrat tənliyin kökləri düsturundakı a üçün 4, b üçün -20 və c üçün -11 ilə \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} əvəz edin.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrat -20.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

-4 ədədini 4 dəfə vurun.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

-16 ədədini -11 dəfə vurun.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400+176}}{2\times 4}$$

400 176 qrupuna əlavə edin.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{576}}{2\times 4}$$

576 kvadrat kökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±24}{2\times 4}$$

-20 rəqəminin əksi budur: 20.

$$x=\frac{20±24}{2\times 4}$$

2 ədədini 4 dəfə vurun.

$$x=\frac{20±24}{8}$$

İndi ± plyus olsa x=\frac{20±24}{8} tənliyini həll edin. 20 24 qrupuna əlavə edin.

$$x=\frac{44}{8}$$

4 çıxarmaqla və ləğv etməklə ən aşağı həddlərə gətirərək \frac{44}{8} kəsrini azaldın.

$$x=\frac{11}{2}$$

İndi ± minus olsa x=\frac{20±24}{8} tənliyini həll edin. 20 ədədindən 24 ədədini çıxın.

$$x=-\frac{4}{8}$$

4 çıxarmaqla və ləğv etməklə ən aşağı həddlərə gətirərək \frac{-4}{8} kəsrini azaldın.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Tənlik indi həll edilib.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Kvadratın Tamamlanması üçün Mərhələlər

Bunun kimi kvadratik tənliklər kvadratı tamamlamaqla həll edilə bilər. Kvadratı tamamlamaqla, tənlik əvvəlcə x^{2}+bx=c formasında olmalıdır.

$$4x^{2}-20x-11=0$$

Tənliyin hər iki tərəfinə 11 əlavə edin.

$$4x^{2}-20x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

-11 ədədindən özünün çıxılması 0-a bərabərdir.

$$4x^{2}-20x=-\left(-11\right)$$

0 ədədindən -11 ədədini çıxın.

$$4x^{2}-20x=11$$

Hər iki tərəfi 4 rəqəminə bölün.

$$\frac{4x^{2}-20x}{4}=\frac{11}{4}$$

4 ədədinə bölmək 4 ədədinə vurmanı qaytarır.

$$x^{2}+\left(-\frac{20}{4}\right)x=\frac{11}{4}$$

-20 ədədini 4 ədədinə bölün.

$$x^{2}-5x=\frac{11}{4}$$

x həddinin əmsalı olan -5 ədədini -\frac{5}{2} almaq üçün 2-yə bölün. Daha sonra tənliyin hər iki tərəfinə -\frac{5}{2} kvadratını əlavə edin. Bu mərhələ tənliyin sol tərəfini tam kvadrat edir.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Kəsrin həm surəti, həm də məxrəcini kvadratlaşdırmaqla -\frac{5}{2} kvadratlaşdırın.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{11+25}{4}$$

Ortaq məxrəci tapmaqla və surətləri əlavə etməklə \frac{11}{4} kəsrini \frac{25}{4} kəsrinə əlavə edin. Daha sonra mümkündürsə, kəsri ən aşağı həddə qədər azaldın.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=9$$

Faktor x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Ümumiyyətlə, x^{2}+bx+c tam kvadrat olduqda həmişə \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} kimi vuruqlara ayrıla bilər.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=9$$

Tənliyin hər iki tərəfinin kvadrat kökünü aparın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Sadələşdirin.

$$x-\frac{5}{2}=3 x-\frac{5}{2}=-3$$

Tənliyin hər iki tərəfinə \frac{5}{2} əlavə edin.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{1}{2}$$