4n^2-7n=11

$$4 n ^ { 2 } - 7 n = 11$$

n üçün həll et

$$n=-1$$

$$n = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2,75$$

Qruplaşdırmaqla Əmsallara Ayırmadan İstifadə Mərhələləri

Hər iki tərəfdən 11 çıxın.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Tənliyi həll etmək üçün qruplaşdırmaqla sol əl tərəfi əmsallarına ayırın. Əvvəlcə sol əl tərəf 4n^{2}+an+bn-11 kimi yazılmalıdır. a və b ədədini tapmaq üçün həll ediləcək sistem qurun.

$$a+b=-7 ab=4\left(-11\right)=-44$$

ab mənfi olduğu üçün a və b ədədlərinin əks işarələri var. a+b mənfi olduğu üçün mənfi rəqəmin müsbətdən daha böyük mütləq qiyməti var. -44 hasilini verən bütün belə tam ədəd cütlərini siyahıda qeyd edin.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

Hər cüt üçün cəmi hesablayın.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

Həll -7 cəmini verən cütdür.

$$a=-11 b=4$$

4n^{2}-7n-11 \left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right) kimi yenidən yazılsın.

$$\left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right)$$

4n^{2}-11n-də n vurulanlara ayrılsın.

$$n\left(4n-11\right)+4n-11$$

Paylayıcı xüsusiyyətini istifadə etməklə 4n-11 ümumi ifadəsi vurulanlara ayrılsın.

$$\left(4n-11\right)\left(n+1\right)$$

Tənliyin həllərini tapmaq üçün 4n-11=0 və n+1=0 ifadələrini həll edin.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Kvadratlar Düsturundan İstifadə Mərhələləri

ax^{2}+bx+c=0 formasının bütün tənlikləri kvadratlar düsturundan istifadə edərək həll edilə bilər: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratlar düsturu biri ± toplama olduqda və digəri çıxma olduqda iki həll verir.

$$4n^{2}-7n=11$$

Tənliyin hər iki tərəfindən 11 çıxın.

$$4n^{2}-7n-11=11-11$$

11 ədədindən özünün çıxılması 0-a bərabərdir.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Bu tənlik standart formadadır: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrat tənliyin kökləri düsturundakı a üçün 4, b üçün -7 və c üçün -11 ilə \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} əvəz edin.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrat -7.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

-4 ədədini 4 dəfə vurun.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

-16 ədədini -11 dəfə vurun.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+176}}{2\times 4}$$

49 176 qrupuna əlavə edin.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

225 kvadrat kökünü alın.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±15}{2\times 4}$$

-7 rəqəminin əksi budur: 7.

$$n=\frac{7±15}{2\times 4}$$

2 ədədini 4 dəfə vurun.

$$n=\frac{7±15}{8}$$

İndi ± plyus olsa n=\frac{7±15}{8} tənliyini həll edin. 7 15 qrupuna əlavə edin.

$$n=\frac{22}{8}$$

2 çıxarmaqla və ləğv etməklə ən aşağı həddlərə gətirərək \frac{22}{8} kəsrini azaldın.

$$n=\frac{11}{4}$$

İndi ± minus olsa n=\frac{7±15}{8} tənliyini həll edin. 7 ədədindən 15 ədədini çıxın.

$$n=-\frac{8}{8}$$

-8 ədədini 8 ədədinə bölün.

$$n=-1$$

Tənlik indi həll edilib.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Kvadratın Tamamlanması üçün Mərhələlər

Bunun kimi kvadratik tənliklər kvadratı tamamlamaqla həll edilə bilər. Kvadratı tamamlamaqla, tənlik əvvəlcə x^{2}+bx=c formasında olmalıdır.

$$4n^{2}-7n=11$$

Hər iki tərəfi 4 rəqəminə bölün.

$$\frac{4n^{2}-7n}{4}=\frac{11}{4}$$

4 ədədinə bölmək 4 ədədinə vurmanı qaytarır.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n=\frac{11}{4}$$

x həddinin əmsalı olan -\frac{7}{4} ədədini -\frac{7}{8} almaq üçün 2-yə bölün. Daha sonra tənliyin hər iki tərəfinə -\frac{7}{8} kvadratını əlavə edin. Bu mərhələ tənliyin sol tərəfini tam kvadrat edir.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Kəsrin həm surəti, həm də məxrəcini kvadratlaşdırmaqla -\frac{7}{8} kvadratlaşdırın.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{11}{4}+\frac{49}{64}$$

Ortaq məxrəci tapmaqla və surətləri əlavə etməklə \frac{11}{4} kəsrini \frac{49}{64} kəsrinə əlavə edin. Daha sonra mümkündürsə, kəsri ən aşağı həddə qədər azaldın.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{225}{64}$$

Faktor n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}. Ümumiyyətlə, x^{2}+bx+c tam kvadrat olduqda həmişə \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} kimi vuruqlara ayrıla bilər.

$$\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Tənliyin hər iki tərəfinin kvadrat kökünü aparın.

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Sadələşdirin.

$$n-\frac{7}{8}=\frac{15}{8} n-\frac{7}{8}=-\frac{15}{8}$$

Tənliyin hər iki tərəfinə \frac{7}{8} əlavə edin.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$