4x^2-7x-15=0

$$4 { x }^{ 2 } -7x-15 = 0$$

x üçün həll et

$$x = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1,25$$

$$x=3$$

Qruplaşdırmaqla Əmsallara Ayırmadan İstifadə Mərhələləri

Tənliyi həll etmək üçün qruplaşdırmaqla sol əl tərəfi əmsallarına ayırın. Əvvəlcə sol əl tərəf 4x^{2}+ax+bx-15 kimi yazılmalıdır. a və b ədədini tapmaq üçün həll ediləcək sistem qurun.

$$a+b=-7 ab=4\left(-15\right)=-60$$

ab mənfi olduğu üçün a və b ədədlərinin əks işarələri var. a+b mənfi olduğu üçün mənfi rəqəmin müsbətdən daha böyük mütləq qiyməti var. -60 hasilini verən bütün belə tam ədəd cütlərini siyahıda qeyd edin.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Hər cüt üçün cəmi hesablayın.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Həll -7 cəmini verən cütdür.

$$a=-12 b=5$$

4x^{2}-7x-15 \left(4x^{2}-12x\right)+\left(5x-15\right) kimi yenidən yazılsın.

$$\left(4x^{2}-12x\right)+\left(5x-15\right)$$

Birinci qrupda 4x ədədini və ikinci qrupda isə 5 ədədini vurub çıxarın.

$$4x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)$$

Paylayıcı xüsusiyyətini istifadə etməklə x-3 ümumi ifadəsi vurulanlara ayrılsın.

$$\left(x-3\right)\left(4x+5\right)$$

Tənliyin həllərini tapmaq üçün x-3=0 və 4x+5=0 ifadələrini həll edin.

$$x=3 x=-\frac{5}{4}$$

Kvadratlar Düsturundan İstifadə Mərhələləri

ax^{2}+bx+c=0 formasının bütün tənlikləri kvadratlar düsturundan istifadə edərək həll edilə bilər: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratlar düsturu biri ± toplama olduqda və digəri çıxma olduqda iki həll verir.

$$4x^{2}-7x-15=0$$

Bu tənlik standart formadadır: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrat tənliyin kökləri düsturundakı a üçün 4, b üçün -7 və c üçün -15 ilə \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} əvəz edin.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrat -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

-4 ədədini 4 dəfə vurun.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

-16 ədədini -15 dəfə vurun.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+240}}{2\times 4}$$

49 240 qrupuna əlavə edin.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{289}}{2\times 4}$$

289 kvadrat kökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±17}{2\times 4}$$

-7 rəqəminin əksi budur: 7.

$$x=\frac{7±17}{2\times 4}$$

2 ədədini 4 dəfə vurun.

$$x=\frac{7±17}{8}$$

İndi ± plyus olsa x=\frac{7±17}{8} tənliyini həll edin. 7 17 qrupuna əlavə edin.

$$x=\frac{24}{8}$$

24 ədədini 8 ədədinə bölün.

$$x=3$$

İndi ± minus olsa x=\frac{7±17}{8} tənliyini həll edin. 7 ədədindən 17 ədədini çıxın.

$$x=-\frac{10}{8}$$

2 çıxarmaqla və ləğv etməklə ən aşağı həddlərə gətirərək \frac{-10}{8} kəsrini azaldın.

$$x=-\frac{5}{4}$$

Tənlik indi həll edilib.

$$x=3 x=-\frac{5}{4}$$

Kvadratın Tamamlanması üçün Mərhələlər

Bunun kimi kvadratik tənliklər kvadratı tamamlamaqla həll edilə bilər. Kvadratı tamamlamaqla, tənlik əvvəlcə x^{2}+bx=c formasında olmalıdır.

$$4x^{2}-7x-15=0$$

Tənliyin hər iki tərəfinə 15 əlavə edin.

$$4x^{2}-7x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

-15 ədədindən özünün çıxılması 0-a bərabərdir.

$$4x^{2}-7x=-\left(-15\right)$$

0 ədədindən -15 ədədini çıxın.

$$4x^{2}-7x=15$$

Hər iki tərəfi 4 rəqəminə bölün.

$$\frac{4x^{2}-7x}{4}=\frac{15}{4}$$

4 ədədinə bölmək 4 ədədinə vurmanı qaytarır.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x=\frac{15}{4}$$

x həddinin əmsalı olan -\frac{7}{4} ədədini -\frac{7}{8} almaq üçün 2-yə bölün. Daha sonra tənliyin hər iki tərəfinə -\frac{7}{8} kvadratını əlavə edin. Bu mərhələ tənliyin sol tərəfini tam kvadrat edir.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Kəsrin həm surəti, həm də məxrəcini kvadratlaşdırmaqla -\frac{7}{8} kvadratlaşdırın.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{15}{4}+\frac{49}{64}$$

Ortaq məxrəci tapmaqla və surətləri əlavə etməklə \frac{15}{4} kəsrini \frac{49}{64} kəsrinə əlavə edin. Daha sonra mümkündürsə, kəsri ən aşağı həddə qədər azaldın.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{289}{64}$$

Faktor x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. Ümumiyyətlə, x^{2}+bx+c tam kvadrat olduqda həmişə \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} kimi vuruqlara ayrıla bilər.

$$\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{289}{64}$$

Tənliyin hər iki tərəfinin kvadrat kökünü aparın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{64}}$$

Sadələşdirin.

$$x-\frac{7}{8}=\frac{17}{8} x-\frac{7}{8}=-\frac{17}{8}$$

Tənliyin hər iki tərəfinə \frac{7}{8} əlavə edin.

$$x=3 x=-\frac{5}{4}$$