3x^2-31x-60=0

$$3 { x }^{ 2 } -31x-60=0$$

x üçün həll et

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=12$$

Qruplaşdırmaqla Əmsallara Ayırmadan İstifadə Mərhələləri

Tənliyi həll etmək üçün qruplaşdırmaqla sol əl tərəfi əmsallarına ayırın. Əvvəlcə sol əl tərəf 3x^{2}+ax+bx-60 kimi yazılmalıdır. a və b ədədini tapmaq üçün həll ediləcək sistem qurun.

$$a+b=-31 ab=3\left(-60\right)=-180$$

ab mənfi olduğu üçün a və b ədədlərinin əks işarələri var. a+b mənfi olduğu üçün mənfi rəqəmin müsbətdən daha böyük mütləq qiyməti var. -180 hasilini verən bütün belə tam ədəd cütlərini siyahıda qeyd edin.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Hər cüt üçün cəmi hesablayın.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Həll -31 cəmini verən cütdür.

$$a=-36 b=5$$

3x^{2}-31x-60 \left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right) kimi yenidən yazılsın.

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right)$$

Birinci qrupda 3x ədədini və ikinci qrupda isə 5 ədədini vurub çıxarın.

$$3x\left(x-12\right)+5\left(x-12\right)$$

Paylayıcı xüsusiyyətini istifadə etməklə x-12 ümumi ifadəsi vurulanlara ayrılsın.

$$\left(x-12\right)\left(3x+5\right)$$

Tənliyin həllərini tapmaq üçün x-12=0 və 3x+5=0 ifadələrini həll edin.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Kvadratlar Düsturundan İstifadə Mərhələləri

ax^{2}+bx+c=0 formasının bütün tənlikləri kvadratlar düsturundan istifadə edərək həll edilə bilər: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratlar düsturu biri ± toplama olduqda və digəri çıxma olduqda iki həll verir.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Bu tənlik standart formadadır: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrat tənliyin kökləri düsturundakı a üçün 3, b üçün -31 və c üçün -60 ilə \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} əvəz edin.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrat -31.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

-4 ədədini 3 dəfə vurun.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-12\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

-12 ədədini -60 dəfə vurun.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+720}}{2\times 3}$$

961 720 qrupuna əlavə edin.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

1681 kvadrat kökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±41}{2\times 3}$$

-31 rəqəminin əksi budur: 31.

$$x=\frac{31±41}{2\times 3}$$

2 ədədini 3 dəfə vurun.

$$x=\frac{31±41}{6}$$

İndi ± plyus olsa x=\frac{31±41}{6} tənliyini həll edin. 31 41 qrupuna əlavə edin.

$$x=\frac{72}{6}$$

72 ədədini 6 ədədinə bölün.

$$x=12$$

İndi ± minus olsa x=\frac{31±41}{6} tənliyini həll edin. 31 ədədindən 41 ədədini çıxın.

$$x=-\frac{10}{6}$$

2 çıxarmaqla və ləğv etməklə ən aşağı həddlərə gətirərək \frac{-10}{6} kəsrini azaldın.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Tənlik indi həll edilib.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Kvadratın Tamamlanması üçün Mərhələlər

Bunun kimi kvadratik tənliklər kvadratı tamamlamaqla həll edilə bilər. Kvadratı tamamlamaqla, tənlik əvvəlcə x^{2}+bx=c formasında olmalıdır.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Tənliyin hər iki tərəfinə 60 əlavə edin.

$$3x^{2}-31x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

-60 ədədindən özünün çıxılması 0-a bərabərdir.

$$3x^{2}-31x=-\left(-60\right)$$

0 ədədindən -60 ədədini çıxın.

$$3x^{2}-31x=60$$

Hər iki tərəfi 3 rəqəminə bölün.

$$\frac{3x^{2}-31x}{3}=\frac{60}{3}$$

3 ədədinə bölmək 3 ədədinə vurmanı qaytarır.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=\frac{60}{3}$$

60 ədədini 3 ədədinə bölün.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=20$$

x həddinin əmsalı olan -\frac{31}{3} ədədini -\frac{31}{6} almaq üçün 2-yə bölün. Daha sonra tənliyin hər iki tərəfinə -\frac{31}{6} kvadratını əlavə edin. Bu mərhələ tənliyin sol tərəfini tam kvadrat edir.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}=20+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}$$

Kəsrin həm surəti, həm də məxrəcini kvadratlaşdırmaqla -\frac{31}{6} kvadratlaşdırın.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=20+\frac{961}{36}$$

20 \frac{961}{36} qrupuna əlavə edin.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=\frac{1681}{36}$$

Faktor x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}. Ümumiyyətlə, x^{2}+bx+c tam kvadrat olduqda həmişə \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} kimi vuruqlara ayrıla bilər.

$$\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Tənliyin hər iki tərəfinin kvadrat kökünü aparın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Sadələşdirin.

$$x-\frac{31}{6}=\frac{41}{6} x-\frac{31}{6}=-\frac{41}{6}$$

Tənliyin hər iki tərəfinə \frac{31}{6} əlavə edin.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$