24x^2-65x+21=0

$$24 x ^ { 2 } - 65 x + 21 = 0$$

x üçün həll et

$$x=\frac{3}{8}=0,375$$

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2,333333333$$

Qruplaşdırmaqla Əmsallara Ayırmadan İstifadə Mərhələləri

Tənliyi həll etmək üçün qruplaşdırmaqla sol əl tərəfi əmsallarına ayırın. Əvvəlcə sol əl tərəf 24x^{2}+ax+bx+21 kimi yazılmalıdır. a və b ədədini tapmaq üçün həll ediləcək sistem qurun.

$$a+b=-65 ab=24\times 21=504$$

ab müsbət olduğu üçün a və b ədədinin eyni işarəsi var. a+b mənfi olduğu üçün a və b hər ikisi mənfidir. 504 hasilini verən bütün belə tam ədəd cütlərini siyahıda qeyd edin.

$$-1,-504 -2,-252 -3,-168 -4,-126 -6,-84 -7,-72 -8,-63 -9,-56 -12,-42 -14,-36 -18,-28 -21,-24$$

Hər cüt üçün cəmi hesablayın.

$$-1-504=-505 -2-252=-254 -3-168=-171 -4-126=-130 -6-84=-90 -7-72=-79 -8-63=-71 -9-56=-65 -12-42=-54 -14-36=-50 -18-28=-46 -21-24=-45$$

Həll -65 cəmini verən cütdür.

$$a=-56 b=-9$$

24x^{2}-65x+21 \left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right) kimi yenidən yazılsın.

$$\left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right)$$

Birinci qrupda 8x ədədini və ikinci qrupda isə -3 ədədini vurub çıxarın.

$$8x\left(3x-7\right)-3\left(3x-7\right)$$

Paylayıcı xüsusiyyətini istifadə etməklə 3x-7 ümumi ifadəsi vurulanlara ayrılsın.

$$\left(3x-7\right)\left(8x-3\right)$$

Tənliyin həllərini tapmaq üçün 3x-7=0 və 8x-3=0 ifadələrini həll edin.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

Kvadratlar Düsturundan İstifadə Mərhələləri

ax^{2}+bx+c=0 formasının bütün tənlikləri kvadratlar düsturundan istifadə edərək həll edilə bilər: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratlar düsturu biri ± toplama olduqda və digəri çıxma olduqda iki həll verir.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

Bu tənlik standart formadadır: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrat tənliyin kökləri düsturundakı a üçün 24, b üçün -65 və c üçün 21 ilə \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} əvəz edin.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{\left(-65\right)^{2}-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

Kvadrat -65.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

-4 ədədini 24 dəfə vurun.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-96\times 21}}{2\times 24}$$

-96 ədədini 21 dəfə vurun.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-2016}}{2\times 24}$$

4225 -2016 qrupuna əlavə edin.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{2209}}{2\times 24}$$

2209 kvadrat kökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±47}{2\times 24}$$

-65 rəqəminin əksi budur: 65.

$$x=\frac{65±47}{2\times 24}$$

2 ədədini 24 dəfə vurun.

$$x=\frac{65±47}{48}$$

İndi ± plyus olsa x=\frac{65±47}{48} tənliyini həll edin. 65 47 qrupuna əlavə edin.

$$x=\frac{112}{48}$$

16 çıxarmaqla və ləğv etməklə ən aşağı həddlərə gətirərək \frac{112}{48} kəsrini azaldın.

$$x=\frac{7}{3}$$

İndi ± minus olsa x=\frac{65±47}{48} tənliyini həll edin. 65 ədədindən 47 ədədini çıxın.

$$x=\frac{18}{48}$$

6 çıxarmaqla və ləğv etməklə ən aşağı həddlərə gətirərək \frac{18}{48} kəsrini azaldın.

$$x=\frac{3}{8}$$

Tənlik indi həll edilib.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

Kvadratın Tamamlanması üçün Mərhələlər

Bunun kimi kvadratik tənliklər kvadratı tamamlamaqla həll edilə bilər. Kvadratı tamamlamaqla, tənlik əvvəlcə x^{2}+bx=c formasında olmalıdır.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

Tənliyin hər iki tərəfindən 21 çıxın.

$$24x^{2}-65x+21-21=-21$$

21 ədədindən özünün çıxılması 0-a bərabərdir.

$$24x^{2}-65x=-21$$

Hər iki tərəfi 24 rəqəminə bölün.

$$\frac{24x^{2}-65x}{24}=-\frac{21}{24}$$

24 ədədinə bölmək 24 ədədinə vurmanı qaytarır.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{21}{24}$$

3 çıxarmaqla və ləğv etməklə ən aşağı həddlərə gətirərək \frac{-21}{24} kəsrini azaldın.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{7}{8}$$

x həddinin əmsalı olan -\frac{65}{24} ədədini -\frac{65}{48} almaq üçün 2-yə bölün. Daha sonra tənliyin hər iki tərəfinə -\frac{65}{48} kvadratını əlavə edin. Bu mərhələ tənliyin sol tərəfini tam kvadrat edir.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}=-\frac{7}{8}+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}$$

Kəsrin həm surəti, həm də məxrəcini kvadratlaşdırmaqla -\frac{65}{48} kvadratlaşdırın.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=-\frac{7}{8}+\frac{4225}{2304}$$

Ortaq məxrəci tapmaqla və surətləri əlavə etməklə -\frac{7}{8} kəsrini \frac{4225}{2304} kəsrinə əlavə edin. Daha sonra mümkündürsə, kəsri ən aşağı həddə qədər azaldın.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=\frac{2209}{2304}$$

Faktor x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}. Ümumiyyətlə, x^{2}+bx+c tam kvadrat olduqda həmişə \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} kimi vuruqlara ayrıla bilər.

$$\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}=\frac{2209}{2304}$$

Tənliyin hər iki tərəfinin kvadrat kökünü aparın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{2304}}$$

Sadələşdirin.

$$x-\frac{65}{48}=\frac{47}{48} x-\frac{65}{48}=-\frac{47}{48}$$

Tənliyin hər iki tərəfinə \frac{65}{48} əlavə edin.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$