2x^2-x-15=0

$$2 x ^ { 2 } - x - 15 = 0$$

x üçün həll et

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=3$$

Qruplaşdırmaqla Əmsallara Ayırmadan İstifadə Mərhələləri

Tənliyi həll etmək üçün qruplaşdırmaqla sol əl tərəfi əmsallarına ayırın. Əvvəlcə sol əl tərəf 2x^{2}+ax+bx-15 kimi yazılmalıdır. a və b ədədini tapmaq üçün həll ediləcək sistem qurun.

$$a+b=-1 ab=2\left(-15\right)=-30$$

ab mənfi olduğu üçün a və b ədədlərinin əks işarələri var. a+b mənfi olduğu üçün mənfi rəqəmin müsbətdən daha böyük mütləq qiyməti var. -30 hasilini verən bütün belə tam ədəd cütlərini siyahıda qeyd edin.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Hər cüt üçün cəmi hesablayın.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Həll -1 cəmini verən cütdür.

$$a=-6 b=5$$

2x^{2}-x-15 \left(2x^{2}-6x\right)+\left(5x-15\right) kimi yenidən yazılsın.

$$\left(2x^{2}-6x\right)+\left(5x-15\right)$$

Birinci qrupda 2x ədədini və ikinci qrupda isə 5 ədədini vurub çıxarın.

$$2x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)$$

Paylayıcı xüsusiyyətini istifadə etməklə x-3 ümumi ifadəsi vurulanlara ayrılsın.

$$\left(x-3\right)\left(2x+5\right)$$

Tənliyin həllərini tapmaq üçün x-3=0 və 2x+5=0 ifadələrini həll edin.

$$x=3 x=-\frac{5}{2}$$

Kvadratlar Düsturundan İstifadə Mərhələləri

ax^{2}+bx+c=0 formasının bütün tənlikləri kvadratlar düsturundan istifadə edərək həll edilə bilər: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratlar düsturu biri ± toplama olduqda və digəri çıxma olduqda iki həll verir.

$$2x^{2}-x-15=0$$

Bu tənlik standart formadadır: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrat tənliyin kökləri düsturundakı a üçün 2, b üçün -1 və c üçün -15 ilə \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} əvəz edin.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

-4 ədədini 2 dəfə vurun.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

-8 ədədini -15 dəfə vurun.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+120}}{2\times 2}$$

1 120 qrupuna əlavə edin.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

121 kvadrat kökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±11}{2\times 2}$$

-1 rəqəminin əksi budur: 1.

$$x=\frac{1±11}{2\times 2}$$

2 ədədini 2 dəfə vurun.

$$x=\frac{1±11}{4}$$

İndi ± plyus olsa x=\frac{1±11}{4} tənliyini həll edin. 1 11 qrupuna əlavə edin.

$$x=\frac{12}{4}$$

12 ədədini 4 ədədinə bölün.

$$x=3$$

İndi ± minus olsa x=\frac{1±11}{4} tənliyini həll edin. 1 ədədindən 11 ədədini çıxın.

$$x=-\frac{10}{4}$$

2 çıxarmaqla və ləğv etməklə ən aşağı həddlərə gətirərək \frac{-10}{4} kəsrini azaldın.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Tənlik indi həll edilib.

$$x=3 x=-\frac{5}{2}$$

Kvadratın Tamamlanması üçün Mərhələlər

Bunun kimi kvadratik tənliklər kvadratı tamamlamaqla həll edilə bilər. Kvadratı tamamlamaqla, tənlik əvvəlcə x^{2}+bx=c formasında olmalıdır.

$$2x^{2}-x-15=0$$

Tənliyin hər iki tərəfinə 15 əlavə edin.

$$2x^{2}-x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

-15 ədədindən özünün çıxılması 0-a bərabərdir.

$$2x^{2}-x=-\left(-15\right)$$

0 ədədindən -15 ədədini çıxın.

$$2x^{2}-x=15$$

Hər iki tərəfi 2 rəqəminə bölün.

$$\frac{2x^{2}-x}{2}=\frac{15}{2}$$

2 ədədinə bölmək 2 ədədinə vurmanı qaytarır.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{15}{2}$$

x həddinin əmsalı olan -\frac{1}{2} ədədini -\frac{1}{4} almaq üçün 2-yə bölün. Daha sonra tənliyin hər iki tərəfinə -\frac{1}{4} kvadratını əlavə edin. Bu mərhələ tənliyin sol tərəfini tam kvadrat edir.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{15}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Kəsrin həm surəti, həm də məxrəcini kvadratlaşdırmaqla -\frac{1}{4} kvadratlaşdırın.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{15}{2}+\frac{1}{16}$$

Ortaq məxrəci tapmaqla və surətləri əlavə etməklə \frac{15}{2} kəsrini \frac{1}{16} kəsrinə əlavə edin. Daha sonra mümkündürsə, kəsri ən aşağı həddə qədər azaldın.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{121}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Ümumiyyətlə, x^{2}+bx+c tam kvadrat olduqda həmişə \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} kimi vuruqlara ayrıla bilər.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Tənliyin hər iki tərəfinin kvadrat kökünü aparın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Sadələşdirin.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{11}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{11}{4}$$

Tənliyin hər iki tərəfinə \frac{1}{4} əlavə edin.

$$x=3 x=-\frac{5}{2}$$