13n^2-41n-120=0

$$13 n ^ { 2 } - 41 n - 120 = 0$$

n üçün həll et

$$n = -\frac{24}{13} = -1\frac{11}{13} \approx -1,846153846$$

$$n=5$$

Qruplaşdırmaqla Əmsallara Ayırmadan İstifadə Mərhələləri

Tənliyi həll etmək üçün qruplaşdırmaqla sol əl tərəfi əmsallarına ayırın. Əvvəlcə sol əl tərəf 13n^{2}+an+bn-120 kimi yazılmalıdır. a və b ədədini tapmaq üçün həll ediləcək sistem qurun.

$$a+b=-41 ab=13\left(-120\right)=-1560$$

ab mənfi olduğu üçün a və b ədədlərinin əks işarələri var. a+b mənfi olduğu üçün mənfi rəqəmin müsbətdən daha böyük mütləq qiyməti var. -1560 hasilini verən bütün belə tam ədəd cütlərini siyahıda qeyd edin.

$$1,-1560 2,-780 3,-520 4,-390 5,-312 6,-260 8,-195 10,-156 12,-130 13,-120 15,-104 20,-78 24,-65 26,-60 30,-52 39,-40$$

Hər cüt üçün cəmi hesablayın.

$$1-1560=-1559 2-780=-778 3-520=-517 4-390=-386 5-312=-307 6-260=-254 8-195=-187 10-156=-146 12-130=-118 13-120=-107 15-104=-89 20-78=-58 24-65=-41 26-60=-34 30-52=-22 39-40=-1$$

Həll -41 cəmini verən cütdür.

$$a=-65 b=24$$

13n^{2}-41n-120 \left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right) kimi yenidən yazılsın.

$$\left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right)$$

Birinci qrupda 13n ədədini və ikinci qrupda isə 24 ədədini vurub çıxarın.

$$13n\left(n-5\right)+24\left(n-5\right)$$

Paylayıcı xüsusiyyətini istifadə etməklə n-5 ümumi ifadəsi vurulanlara ayrılsın.

$$\left(n-5\right)\left(13n+24\right)$$

Tənliyin həllərini tapmaq üçün n-5=0 və 13n+24=0 ifadələrini həll edin.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

Kvadratlar Düsturundan İstifadə Mərhələləri

ax^{2}+bx+c=0 formasının bütün tənlikləri kvadratlar düsturundan istifadə edərək həll edilə bilər: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratlar düsturu biri ± toplama olduqda və digəri çıxma olduqda iki həll verir.

$$13n^{2}-41n-120=0$$

Bu tənlik standart formadadır: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrat tənliyin kökləri düsturundakı a üçün 13, b üçün -41 və c üçün -120 ilə \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} əvəz edin.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

Kvadrat -41.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

-4 ədədini 13 dəfə vurun.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-52\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

-52 ədədini -120 dəfə vurun.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681+6240}}{2\times 13}$$

1681 6240 qrupuna əlavə edin.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{7921}}{2\times 13}$$

7921 kvadrat kökünü alın.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±89}{2\times 13}$$

-41 rəqəminin əksi budur: 41.

$$n=\frac{41±89}{2\times 13}$$

2 ədədini 13 dəfə vurun.

$$n=\frac{41±89}{26}$$

İndi ± plyus olsa n=\frac{41±89}{26} tənliyini həll edin. 41 89 qrupuna əlavə edin.

$$n=\frac{130}{26}$$

130 ədədini 26 ədədinə bölün.

$$n=5$$

İndi ± minus olsa n=\frac{41±89}{26} tənliyini həll edin. 41 ədədindən 89 ədədini çıxın.

$$n=-\frac{48}{26}$$

2 çıxarmaqla və ləğv etməklə ən aşağı həddlərə gətirərək \frac{-48}{26} kəsrini azaldın.

$$n=-\frac{24}{13}$$

Tənlik indi həll edilib.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

Kvadratın Tamamlanması üçün Mərhələlər

Bunun kimi kvadratik tənliklər kvadratı tamamlamaqla həll edilə bilər. Kvadratı tamamlamaqla, tənlik əvvəlcə x^{2}+bx=c formasında olmalıdır.

$$13n^{2}-41n-120=0$$

Tənliyin hər iki tərəfinə 120 əlavə edin.

$$13n^{2}-41n-120-\left(-120\right)=-\left(-120\right)$$

-120 ədədindən özünün çıxılması 0-a bərabərdir.

$$13n^{2}-41n=-\left(-120\right)$$

0 ədədindən -120 ədədini çıxın.

$$13n^{2}-41n=120$$

Hər iki tərəfi 13 rəqəminə bölün.

$$\frac{13n^{2}-41n}{13}=\frac{120}{13}$$

13 ədədinə bölmək 13 ədədinə vurmanı qaytarır.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n=\frac{120}{13}$$

x həddinin əmsalı olan -\frac{41}{13} ədədini -\frac{41}{26} almaq üçün 2-yə bölün. Daha sonra tənliyin hər iki tərəfinə -\frac{41}{26} kvadratını əlavə edin. Bu mərhələ tənliyin sol tərəfini tam kvadrat edir.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{120}{13}+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}$$

Kəsrin həm surəti, həm də məxrəcini kvadratlaşdırmaqla -\frac{41}{26} kvadratlaşdırın.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{120}{13}+\frac{1681}{676}$$

Ortaq məxrəci tapmaqla və surətləri əlavə etməklə \frac{120}{13} kəsrini \frac{1681}{676} kəsrinə əlavə edin. Daha sonra mümkündürsə, kəsri ən aşağı həddə qədər azaldın.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{7921}{676}$$

Faktor n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}. Ümumiyyətlə, x^{2}+bx+c tam kvadrat olduqda həmişə \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} kimi vuruqlara ayrıla bilər.

$$\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{7921}{676}$$

Tənliyin hər iki tərəfinin kvadrat kökünü aparın.

$$\sqrt{\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7921}{676}}$$

Sadələşdirin.

$$n-\frac{41}{26}=\frac{89}{26} n-\frac{41}{26}=-\frac{89}{26}$$

Tənliyin hər iki tərəfinə \frac{41}{26} əlavə edin.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$