12r^2-11r-15=0

$$12 r ^ { 2 } - 11 r - 15 = 0$$

r üçün həll et

$$r=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$r = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Qruplaşdırmaqla Əmsallara Ayırmadan İstifadə Mərhələləri

Tənliyi həll etmək üçün qruplaşdırmaqla sol əl tərəfi əmsallarına ayırın. Əvvəlcə sol əl tərəf 12r^{2}+ar+br-15 kimi yazılmalıdır. a və b ədədini tapmaq üçün həll ediləcək sistem qurun.

$$a+b=-11 ab=12\left(-15\right)=-180$$

ab mənfi olduğu üçün a və b ədədlərinin əks işarələri var. a+b mənfi olduğu üçün mənfi rəqəmin müsbətdən daha böyük mütləq qiyməti var. -180 hasilini verən bütün belə tam ədəd cütlərini siyahıda qeyd edin.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Hər cüt üçün cəmi hesablayın.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Həll -11 cəmini verən cütdür.

$$a=-20 b=9$$

12r^{2}-11r-15 \left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right) kimi yenidən yazılsın.

$$\left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right)$$

Birinci qrupda 4r ədədini və ikinci qrupda isə 3 ədədini vurub çıxarın.

$$4r\left(3r-5\right)+3\left(3r-5\right)$$

Paylayıcı xüsusiyyətini istifadə etməklə 3r-5 ümumi ifadəsi vurulanlara ayrılsın.

$$\left(3r-5\right)\left(4r+3\right)$$

Tənliyin həllərini tapmaq üçün 3r-5=0 və 4r+3=0 ifadələrini həll edin.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

Kvadratlar Düsturundan İstifadə Mərhələləri

ax^{2}+bx+c=0 formasının bütün tənlikləri kvadratlar düsturundan istifadə edərək həll edilə bilər: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratlar düsturu biri ± toplama olduqda və digəri çıxma olduqda iki həll verir.

$$12r^{2}-11r-15=0$$

Bu tənlik standart formadadır: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrat tənliyin kökləri düsturundakı a üçün 12, b üçün -11 və c üçün -15 ilə \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} əvəz edin.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Kvadrat -11.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

-4 ədədini 12 dəfə vurun.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-48\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

-48 ədədini -15 dəfə vurun.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+720}}{2\times 12}$$

121 720 qrupuna əlavə edin.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{841}}{2\times 12}$$

841 kvadrat kökünü alın.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±29}{2\times 12}$$

-11 rəqəminin əksi budur: 11.

$$r=\frac{11±29}{2\times 12}$$

2 ədədini 12 dəfə vurun.

$$r=\frac{11±29}{24}$$

İndi ± plyus olsa r=\frac{11±29}{24} tənliyini həll edin. 11 29 qrupuna əlavə edin.

$$r=\frac{40}{24}$$

8 çıxarmaqla və ləğv etməklə ən aşağı həddlərə gətirərək \frac{40}{24} kəsrini azaldın.

$$r=\frac{5}{3}$$

İndi ± minus olsa r=\frac{11±29}{24} tənliyini həll edin. 11 ədədindən 29 ədədini çıxın.

$$r=-\frac{18}{24}$$

6 çıxarmaqla və ləğv etməklə ən aşağı həddlərə gətirərək \frac{-18}{24} kəsrini azaldın.

$$r=-\frac{3}{4}$$

Tənlik indi həll edilib.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

Kvadratın Tamamlanması üçün Mərhələlər

Bunun kimi kvadratik tənliklər kvadratı tamamlamaqla həll edilə bilər. Kvadratı tamamlamaqla, tənlik əvvəlcə x^{2}+bx=c formasında olmalıdır.

$$12r^{2}-11r-15=0$$

Tənliyin hər iki tərəfinə 15 əlavə edin.

$$12r^{2}-11r-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

-15 ədədindən özünün çıxılması 0-a bərabərdir.

$$12r^{2}-11r=-\left(-15\right)$$

0 ədədindən -15 ədədini çıxın.

$$12r^{2}-11r=15$$

Hər iki tərəfi 12 rəqəminə bölün.

$$\frac{12r^{2}-11r}{12}=\frac{15}{12}$$

12 ədədinə bölmək 12 ədədinə vurmanı qaytarır.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{15}{12}$$

3 çıxarmaqla və ləğv etməklə ən aşağı həddlərə gətirərək \frac{15}{12} kəsrini azaldın.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{5}{4}$$

x həddinin əmsalı olan -\frac{11}{12} ədədini -\frac{11}{24} almaq üçün 2-yə bölün. Daha sonra tənliyin hər iki tərəfinə -\frac{11}{24} kvadratını əlavə edin. Bu mərhələ tənliyin sol tərəfini tam kvadrat edir.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}$$

Kəsrin həm surəti, həm də məxrəcini kvadratlaşdırmaqla -\frac{11}{24} kvadratlaşdırın.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{5}{4}+\frac{121}{576}$$

Ortaq məxrəci tapmaqla və surətləri əlavə etməklə \frac{5}{4} kəsrini \frac{121}{576} kəsrinə əlavə edin. Daha sonra mümkündürsə, kəsri ən aşağı həddə qədər azaldın.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{841}{576}$$

Faktor r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}. Ümumiyyətlə, x^{2}+bx+c tam kvadrat olduqda həmişə \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} kimi vuruqlara ayrıla bilər.

$$\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{841}{576}$$

Tənliyin hər iki tərəfinin kvadrat kökünü aparın.

$$\sqrt{\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{576}}$$

Sadələşdirin.

$$r-\frac{11}{24}=\frac{29}{24} r-\frac{11}{24}=-\frac{29}{24}$$

Tənliyin hər iki tərəfinə \frac{11}{24} əlavə edin.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$