{l}{y=k(x-sqrt{3})}{x^2+4y^2-4=0} সমাধান কৰক

$$\left. \begin{array} { l } { y = k ( x - \sqrt { 3 } ) } \\ { x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } - 4 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y-ৰ বাবে সমাধান কৰক

$$x=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}-\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=-\frac{k\left(2\sqrt{k^{2}+1}+\sqrt{3}\right)}{4k^{2}+1}$$

$$x=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{k\left(2\sqrt{k^{2}+1}-\sqrt{3}\right)}{4k^{2}+1}$$

চাবষ্টিটিউশ্বন আৰু কুৱাড্ৰেটিক সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰি পদক্ষেপসমূহ

প্ৰথম সমীকৰণটো বিবেচনা কৰক৷ kক x-\sqrt{3}ৰে পূৰণ কৰিবলৈ বিতৰক উপাদান ব্যৱহাৰ কৰক৷

$$y=kx-k\sqrt{3}$$

দুয়োটা দিশৰ পৰা kx বিয়োগ কৰক৷

$$y-kx=-k\sqrt{3}$$

দ্বিতীয় সমীকৰণটো বিবেচনা কৰক৷ উভয় কাষে 4 যোগ কৰক। শূণ্যৰ লগত যিকোনো যোগ কৰিলে একেটাই দিয়ে৷

$$x^{2}+4y^{2}=4$$

চাবষ্টিটিউশ্বন ব্যৱহাৰ কৰি সমীকৰণৰ এটা যোৰা সমাধান কৰিবলৈ, চলকসমূহৰ এটাৰ বাবে সমীকৰণসমূহ প্ৰথমে সমাধান কৰক৷ ইয়াৰ পিছত অন্য সমীকৰণত এই চলকটোৰ বাবে ফলাফল স্থানাপন কৰক৷

$$y+\left(-k\right)x=-\sqrt{3}k,x^{2}+4y^{2}=4$$

সমান চিনৰ বাওঁ দিশত থকা y পৃথক কৰি yৰ বাবে y+\left(-k\right)x=-\sqrt{3}k সমাধান কৰক৷

$$y+\left(-k\right)x=-\sqrt{3}k$$

সমীকৰণৰ দুয়োটা দিশৰ পৰা \left(-k\right)x বিয়োগ কৰক৷

$$y=kx-\sqrt{3}k$$

অন্য সমীকৰণত y-ৰ বাবে kx-\sqrt{3}k স্থানাপন কৰক, x^{2}+4y^{2}=4৷

$$x^{2}+4\left(kx-\sqrt{3}k\right)^{2}=4$$

বৰ্গ kx-\sqrt{3}k৷

$$x^{2}+4\left(k^{2}x^{2}+2k\left(-\sqrt{3}k\right)x+\left(-\sqrt{3}k\right)^{2}\right)=4$$

4 বাৰ k^{2}x^{2}+2k\left(-\sqrt{3}k\right)x+\left(-\sqrt{3}k\right)^{2} পুৰণ কৰক৷

$$x^{2}+4k^{2}x^{2}+8k\left(-\sqrt{3}k\right)x+4\left(-\sqrt{3}k\right)^{2}=4$$

4k^{2}x^{2} লৈ x^{2} যোগ কৰক৷

$$\left(4k^{2}+1\right)x^{2}+8k\left(-\sqrt{3}k\right)x+4\left(-\sqrt{3}k\right)^{2}=4$$

সমীকৰণৰ দুয়োটা দিশৰ পৰা 4 বিয়োগ কৰক৷

$$\left(4k^{2}+1\right)x^{2}+8k\left(-\sqrt{3}k\right)x+4\left(-\sqrt{3}k\right)^{2}-4=0$$

এই সমীকৰণটো এটা মান্য ৰূপত আছে: ax^{2}+bx+c=0. কুৱাড্ৰেটিক সূত্ৰ \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}-ত a-ৰ বাবে 1+4k^{2}, b-ৰ বাবে 4\times 2k\left(-k\sqrt{3}\right), c-ৰ বাবে 12k^{2}-4 চাবষ্টিটিউট৷

$$x=\frac{-8k\left(-\sqrt{3}k\right)±\sqrt{\left(8k\left(-\sqrt{3}k\right)\right)^{2}-4\left(4k^{2}+1\right)\left(12k^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

বৰ্গ 4\times 2k\left(-k\sqrt{3}\right)৷

$$x=\frac{-8k\left(-\sqrt{3}k\right)±\sqrt{192k^{4}-4\left(4k^{2}+1\right)\left(12k^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

-4 বাৰ 1+4k^{2} পুৰণ কৰক৷

$$x=\frac{-8k\left(-\sqrt{3}k\right)±\sqrt{192k^{4}+\left(-16k^{2}-4\right)\left(12k^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

-4-16k^{2} বাৰ 12k^{2}-4 পুৰণ কৰক৷

$$x=\frac{-8k\left(-\sqrt{3}k\right)±\sqrt{192k^{4}+16+16k^{2}-192k^{4}}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

16k^{2}-192k^{4}+16 লৈ 192k^{4} যোগ কৰক৷

$$x=\frac{-8k\left(-\sqrt{3}k\right)±\sqrt{16k^{2}+16}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

16k^{2}+16-ৰ বৰ্গমূল লওক৷

$$x=\frac{-8k\left(-\sqrt{3}k\right)±4\sqrt{k^{2}+1}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

2 বাৰ 1+4k^{2} পুৰণ কৰক৷

$$x=\frac{8\sqrt{3}k^{2}±4\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+2}$$

এতিয়া ± যোগ হ’লে সমীকৰণ x=\frac{8\sqrt{3}k^{2}±4\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+2} সমাধান কৰক৷ 4\sqrt{k^{2}+1} লৈ 8\sqrt{3}k^{2} যোগ কৰক৷

$$x=\frac{8\sqrt{3}k^{2}+4\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+2}$$

2+8k^{2}-ৰ দ্বাৰা 8\sqrt{3}k^{2}+4\sqrt{k^{2}+1} হৰণ কৰক৷

$$x=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}$$

এতিয়া ± বিয়োগ হ’লে সমীকৰণ x=\frac{8\sqrt{3}k^{2}±4\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+2} সমাধান কৰক৷ 8\sqrt{3}k^{2}-ৰ পৰা 4\sqrt{k^{2}+1} বিয়োগ কৰক৷

$$x=\frac{8\sqrt{3}k^{2}-4\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+2}$$

2+8k^{2}-ৰ দ্বাৰা 8\sqrt{3}k^{2}-4\sqrt{k^{2}+1} হৰণ কৰক৷

$$x=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}-\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}$$

x-ৰ বাবে দুটা সমাধান আছে: \frac{2\left(2k^{2}\sqrt{3}+\sqrt{1+k^{2}}\right)}{1+4k^{2}} আৰু \frac{2\left(2k^{2}\sqrt{3}-\sqrt{1+k^{2}}\right)}{1+4k^{2}}৷ দুয়োটা সমীকৰণকে সন্তুষ্ট কৰিবৰ বাবে অনুৰূপ সমাধান বিচাৰিবলৈ সমীকৰণ y=kx-\sqrt{3}k y -ত x-ৰ বাবে \frac{2\left(2k^{2}\sqrt{3}+\sqrt{1+k^{2}}\right)}{1+4k^{2}} চাবষ্টিটিউট কৰক৷

$$y=k\times \frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}-\sqrt{3}k$$

k বাৰ \frac{2\left(2k^{2}\sqrt{3}+\sqrt{1+k^{2}}\right)}{1+4k^{2}} পুৰণ কৰক৷

$$y=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}k-\sqrt{3}k$$

সমীকৰণ y=kx-\sqrt{3}k-ত x-ৰ বাবে \frac{2\left(2k^{2}\sqrt{3}-\sqrt{1+k^{2}}\right)}{1+4k^{2}} চাবষ্টিটিউট কৰক আৰু y দুয়োটা সমীকৰণকে সন্তুষ্ট কৰিবৰ বাবে অনুৰূপ সমাধান বিচাৰিবলৈ সমাধান কৰক৷

$$y=k\times \frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}-\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}-\sqrt{3}k$$

k বাৰ \frac{2\left(2k^{2}\sqrt{3}-\sqrt{1+k^{2}}\right)}{1+4k^{2}} পুৰণ কৰক৷

$$y=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}-\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}k-\sqrt{3}k$$

ছিষ্টেমটো এতিয়া ঠিক হৈছে৷

$$y=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}k-\sqrt{3}k,x=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}\text{ or }y=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}-\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}k-\sqrt{3}k,x=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}-\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}$$

x, y-ৰ বাবে সমাধান কৰক (জটিল সমাধান)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}-\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=-\frac{k\left(2\sqrt{k^{2}+1}+\sqrt{3}\right)}{4k^{2}+1}\text{; }x=\frac{2\left(2\sqrt{3}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{k\left(2\sqrt{k^{2}+1}-\sqrt{3}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }&k\neq -\frac{1}{2}i\text{ and }k\neq \frac{1}{2}i\\x=\frac{\sqrt{3}\left(3k^{2}-1\right)}{6k^{2}}\text{, }y=-\frac{\sqrt{3}\left(3k^{2}+1\right)}{6k}\text{, }&k=-\frac{1}{2}i\text{ or }k=\frac{1}{2}i\end{matrix}\right.$$