{l}{4x-2y=5}{3x-4y=15} সমাধান কৰক

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 2 y = 5 } \\ { 3 x - 4 y = 15 } \end{array} \right.$$

x, y-ৰ বাবে সমাধান কৰক

$$x=-1$$

$$y = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5$$

চাবষ্টিটিউশ্বন ব্যৱহাৰ কৰি পদক্ষেপসমূহ

চাবষ্টিটিউশ্বন ব্যৱহাৰ কৰি সমীকৰণৰ এটা যোৰা সমাধান কৰিবলৈ, চলকসমূহৰ এটাৰ বাবে সমীকৰণসমূহ প্ৰথমে সমাধান কৰক৷ ইয়াৰ পিছত অন্য সমীকৰণত এই চলকটোৰ বাবে ফলাফল স্থানাপন কৰক৷

$$4x-2y=5,3x-4y=15$$

সমীকৰণসমূহৰ এটা পচন্দ কৰক আৰু সমান চিনৰ বাওঁ দিশে x পৃথক কৰি xৰ বাবে ইয়াক সমাধান কৰক৷

$$4x-2y=5$$

সমীকৰণৰ দুয়োটা দিশতে 2y যোগ কৰক৷

$$4x=2y+5$$

4-ৰ দ্বাৰা দুয়োটা ফাল ভাগ কৰক৷

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+5\right)$$

\frac{1}{4} বাৰ 2y+5 পুৰণ কৰক৷

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{4}$$

অন্য সমীকৰণত x-ৰ বাবে \frac{y}{2}+\frac{5}{4} স্থানাপন কৰক, 3x-4y=15৷

$$3\left(\frac{1}{2}y+\frac{5}{4}\right)-4y=15$$

3 বাৰ \frac{y}{2}+\frac{5}{4} পুৰণ কৰক৷

$$\frac{3}{2}y+\frac{15}{4}-4y=15$$

-4y লৈ \frac{3y}{2} যোগ কৰক৷

$$-\frac{5}{2}y+\frac{15}{4}=15$$

সমীকৰণৰ দুয়োটা দিশৰ পৰা \frac{15}{4} বিয়োগ কৰক৷

$$-\frac{5}{2}y=\frac{45}{4}$$

-\frac{5}{2}-ৰ দ্বাৰা দুয়োটা দিশৰ সমীকৰণ হৰণ কৰক, যি ভগ্নাংশৰ ব্যতিক্ৰমৰ দ্বাৰা দুয়োটা দিশৰ গুণিতকৰ দৰে একে৷

$$y=-\frac{9}{2}$$

x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{4}-ত y-ৰ বাবে -\frac{9}{2}-ক স্থানাপন কৰক৷ কিয়নো ফলাফলৰ সমীকৰণত কেৱল এটা চলক আছে, আপুনি x-ৰ বাবে পোনপটীয়াকৈ সমাধান কৰিব পাৰে৷

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{9}{2}\right)+\frac{5}{4}$$

নিউমাৰেটৰ টাইমক নিউমাৰেটৰে আৰু ডেনোমিনেটৰ টাইমক ডেনোমিনেটেৰ পুৰণ কৰি \frac{1}{2} বাৰ -\frac{9}{2} পুৰণ কৰক৷ তাৰপাছত সম্ভৱ হ'লে ভগ্নাংশক নিম্নতম পদলৈ হ্ৰাস কৰক।

$$x=\frac{-9+5}{4}$$

এটা উমৈহতীয়া বিভাজক বিচাৰি আৰু অংশ গণক যোগ কৰি -\frac{9}{4} লৈ \frac{5}{4} যোগ কৰক৷ ইয়াৰ পিছত যদি সম্ভৱ হয়, তেতিয়া একেবাৰে সৰ্বনিম্ন সময় সীমালৈ ভগ্নাংশক হ্ৰাস কৰক৷

$$x=-1$$

ছিষ্টেমটো এতিয়া ঠিক হৈছে৷

$$x=-1,y=-\frac{9}{2}$$

মেট্ৰিক্সসমূহ ব্যৱহাৰ কৰি পদক্ষেপ

সমীকৰণসমূহক এটা মান্য ৰূপতৰাখক আৰু ইয়াৰ পিছত সমীকৰণসমূহৰ পদ্ধতি সমাধান কৰিবলৈ মেট্ৰিক্স ব্যৱহাৰ কৰক৷

$$4x-2y=5,3x-4y=15$$

মেট্ৰিক্স ৰূপত সমীকৰণ লিখক৷

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right)ৰ বিপৰীত মেট্ৰিক্সৰে বাওঁফালৰ সমীকৰণটো পূৰণ কৰক৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

কোনো মেট্ৰিক্সৰ গুণফল আৰু ইয়াৰ বিপৰীতটো হৈছে পৰিচয় মেট্ৰিক্স৷

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

সমান চিনৰ বাওঁফালে থকা মেট্ৰিক্সবোৰ পূৰণ কৰক৷

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 মেট্ৰিক্স \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)-ৰ বাবে, বিপৰীত মেট্ৰিক্স \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), সেয়েহে মেট্ৰিক্স সমীকৰণটো মেট্ৰিক্স পূৰণ সমস্যা হিচাপে পুনৰ লিখিব পাৰি।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{4\left(-4\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{4\left(-4\right)-\left(-2\times 3\right)}&\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

গণনা কৰক৷

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{3}{10}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

মেট্ৰিক্সসমূহ পুৰণ কৰক৷

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 5-\frac{1}{5}\times 15\\\frac{3}{10}\times 5-\frac{2}{5}\times 15\end{matrix}\right)$$

গণনা কৰক৷

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-\frac{9}{2}\end{matrix}\right)$$

মেট্ৰিক্স উপাদান x আৰু y নিষ্কাষিত কৰক৷

$$x=-1,y=-\frac{9}{2}$$

এলিমিনেশ্বন ব্যৱহাৰ কৰি পদক্ষেপ

চলকসমূহৰ এটাৰ এলিমিনেশ্বন, ক'এফিচিয়েণ্টৰ দ্বাৰা সমাধান কৰিবলৈ দুয়োটা সমীকৰণতে একে থাকিব লাগিব, যাতে এটা সমীকৰণ অন্য এটাৰ পৰা বিয়োগ কৰিলে চলকটো সমান কৰিব পাৰি৷

$$4x-2y=5,3x-4y=15$$

4x আৰু 3x সমান কৰিবৰ বাবে, 3-ৰ দ্বাৰা প্ৰথম সমীকৰণৰ প্ৰতিটো দিশতে সকলো পদ পুৰণ কৰক আৰু দ্বিতীয়টোৰ প্ৰতিটো দিশৰ সকলো পদ 4-ৰ দ্বাৰা পুৰণ কৰক৷

$$3\times 4x+3\left(-2\right)y=3\times 5,4\times 3x+4\left(-4\right)y=4\times 15$$

সৰলীকৰণ৷

$$12x-6y=15,12x-16y=60$$

সমান চিনৰ প্ৰতিটো দিশতে একে পদসমূহ বিয়োগ কৰি 12x-6y=15-ৰ পৰা 12x-16y=60 হৰণ কৰক৷

$$12x-12x-6y+16y=15-60$$

-12x লৈ 12x যোগ কৰক৷ চৰ্তাৱলী 12x আৰু -12x সমান, সমাধান কৰিব পৰা কেৱল এটা চলকৰ সৈতে এটা সমীকৰণ এৰক৷

$$-6y+16y=15-60$$

16y লৈ -6y যোগ কৰক৷

$$10y=15-60$$

-60 লৈ 15 যোগ কৰক৷

$$10y=-45$$

10-ৰ দ্বাৰা দুয়োটা ফাল ভাগ কৰক৷

$$y=-\frac{9}{2}$$

3x-4y=15-ত y-ৰ বাবে -\frac{9}{2}-ক স্থানাপন কৰক৷ কিয়নো ফলাফলৰ সমীকৰণত কেৱল এটা চলক আছে, আপুনি x-ৰ বাবে পোনপটীয়াকৈ সমাধান কৰিব পাৰে৷

$$3x-4\left(-\frac{9}{2}\right)=15$$

-4 বাৰ -\frac{9}{2} পুৰণ কৰক৷

$$3x+18=15$$

সমীকৰণৰ দুয়োটা দিশৰ পৰা 18 বিয়োগ কৰক৷

$$3x=-3$$

3-ৰ দ্বাৰা দুয়োটা ফাল ভাগ কৰক৷

$$x=-1$$

ছিষ্টেমটো এতিয়া ঠিক হৈছে৷

$$x=-1,y=-\frac{9}{2}$$