{l}{4/3x-1/3y=16}{3/15y-1/3x=8} সমাধান কৰক

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 4 } { 3 } x - \frac { 1 } { 3 } y = 16 } \\ { \frac { 3 } { 15 } y - \frac { 1 } { 3 } x = 8 } \end{array} \right.$$

x, y-ৰ বাবে সমাধান কৰক

$$x = \frac{264}{7} = 37\frac{5}{7} \approx 37.714285714$$

$$y = \frac{720}{7} = 102\frac{6}{7} \approx 102.857142857$$

চাবষ্টিটিউশ্বন ব্যৱহাৰ কৰি পদক্ষেপসমূহ

চাবষ্টিটিউশ্বন ব্যৱহাৰ কৰি সমীকৰণৰ এটা যোৰা সমাধান কৰিবলৈ, চলকসমূহৰ এটাৰ বাবে সমীকৰণসমূহ প্ৰথমে সমাধান কৰক৷ ইয়াৰ পিছত অন্য সমীকৰণত এই চলকটোৰ বাবে ফলাফল স্থানাপন কৰক৷

$$\frac{4}{3}x-\frac{1}{3}y=16,-\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=8$$

সমীকৰণসমূহৰ এটা পচন্দ কৰক আৰু সমান চিনৰ বাওঁ দিশে x পৃথক কৰি xৰ বাবে ইয়াক সমাধান কৰক৷

$$\frac{4}{3}x-\frac{1}{3}y=16$$

সমীকৰণৰ দুয়োটা দিশতে \frac{y}{3} যোগ কৰক৷

$$\frac{4}{3}x=\frac{1}{3}y+16$$

\frac{4}{3}-ৰ দ্বাৰা দুয়োটা দিশৰ সমীকৰণ হৰণ কৰক, যি ভগ্নাংশৰ ব্যতিক্ৰমৰ দ্বাৰা দুয়োটা দিশৰ গুণিতকৰ দৰে একে৷

$$x=\frac{3}{4}\left(\frac{1}{3}y+16\right)$$

\frac{3}{4} বাৰ \frac{y}{3}+16 পুৰণ কৰক৷

$$x=\frac{1}{4}y+12$$

অন্য সমীকৰণত x-ৰ বাবে \frac{y}{4}+12 স্থানাপন কৰক, -\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=8৷

$$-\frac{1}{3}\left(\frac{1}{4}y+12\right)+\frac{1}{5}y=8$$

-\frac{1}{3} বাৰ \frac{y}{4}+12 পুৰণ কৰক৷

$$-\frac{1}{12}y-4+\frac{1}{5}y=8$$

\frac{y}{5} লৈ -\frac{y}{12} যোগ কৰক৷

$$\frac{7}{60}y-4=8$$

সমীকৰণৰ দুয়োটা দিশতে 4 যোগ কৰক৷

$$\frac{7}{60}y=12$$

\frac{7}{60}-ৰ দ্বাৰা দুয়োটা দিশৰ সমীকৰণ হৰণ কৰক, যি ভগ্নাংশৰ ব্যতিক্ৰমৰ দ্বাৰা দুয়োটা দিশৰ গুণিতকৰ দৰে একে৷

$$y=\frac{720}{7}$$

x=\frac{1}{4}y+12-ত y-ৰ বাবে \frac{720}{7}-ক স্থানাপন কৰক৷ কিয়নো ফলাফলৰ সমীকৰণত কেৱল এটা চলক আছে, আপুনি x-ৰ বাবে পোনপটীয়াকৈ সমাধান কৰিব পাৰে৷

$$x=\frac{1}{4}\times \frac{720}{7}+12$$

নিউমাৰেটৰ টাইমক নিউমাৰেটৰে আৰু ডেনোমিনেটৰ টাইমক ডেনোমিনেটেৰ পুৰণ কৰি \frac{1}{4} বাৰ \frac{720}{7} পুৰণ কৰক৷ তাৰপাছত সম্ভৱ হ'লে ভগ্নাংশক নিম্নতম পদলৈ হ্ৰাস কৰক।

$$x=\frac{180}{7}+12$$

\frac{180}{7} লৈ 12 যোগ কৰক৷

$$x=\frac{264}{7}$$

ছিষ্টেমটো এতিয়া ঠিক হৈছে৷

$$x=\frac{264}{7},y=\frac{720}{7}$$

মেট্ৰিক্সসমূহ ব্যৱহাৰ কৰি পদক্ষেপ

সমীকৰণসমূহক এটা মান্য ৰূপতৰাখক আৰু ইয়াৰ পিছত সমীকৰণসমূহৰ পদ্ধতি সমাধান কৰিবলৈ মেট্ৰিক্স ব্যৱহাৰ কৰক৷

$$\frac{4}{3}x-\frac{1}{3}y=16,-\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=8$$

মেট্ৰিক্স ৰূপত সমীকৰণ লিখক৷

$$\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)ৰ বিপৰীত মেট্ৰিক্সৰে বাওঁফালৰ সমীকৰণটো পূৰণ কৰক৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

কোনো মেট্ৰিক্সৰ গুণফল আৰু ইয়াৰ বিপৰীতটো হৈছে পৰিচয় মেট্ৰিক্স৷

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

সমান চিনৰ বাওঁফালে থকা মেট্ৰিক্সবোৰ পূৰণ কৰক৷

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 মেট্ৰিক্স \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)-ৰ বাবে, বিপৰীত মেট্ৰিক্স \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), সেয়েহে মেট্ৰিক্স সমীকৰণটো মেট্ৰিক্স পূৰণ সমস্যা হিচাপে পুনৰ লিখিব পাৰি।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{5}}{\frac{4}{3}\times \frac{1}{5}-\left(-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{3}\right)\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{\frac{4}{3}\times \frac{1}{5}-\left(-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{3}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{3}}{\frac{4}{3}\times \frac{1}{5}-\left(-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{3}\right)\right)}&\frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3}\times \frac{1}{5}-\left(-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{3}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

গণনা কৰক৷

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{7}&\frac{15}{7}\\\frac{15}{7}&\frac{60}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

মেট্ৰিক্সসমূহ পুৰণ কৰক৷

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{7}\times 16+\frac{15}{7}\times 8\\\frac{15}{7}\times 16+\frac{60}{7}\times 8\end{matrix}\right)$$

গণনা কৰক৷

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{264}{7}\\\frac{720}{7}\end{matrix}\right)$$

মেট্ৰিক্স উপাদান x আৰু y নিষ্কাষিত কৰক৷

$$x=\frac{264}{7},y=\frac{720}{7}$$

এলিমিনেশ্বন ব্যৱহাৰ কৰি পদক্ষেপ

চলকসমূহৰ এটাৰ এলিমিনেশ্বন, ক'এফিচিয়েণ্টৰ দ্বাৰা সমাধান কৰিবলৈ দুয়োটা সমীকৰণতে একে থাকিব লাগিব, যাতে এটা সমীকৰণ অন্য এটাৰ পৰা বিয়োগ কৰিলে চলকটো সমান কৰিব পাৰি৷

$$\frac{4}{3}x-\frac{1}{3}y=16,-\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=8$$

\frac{4x}{3} আৰু -\frac{x}{3} সমান কৰিবৰ বাবে, -\frac{1}{3}-ৰ দ্বাৰা প্ৰথম সমীকৰণৰ প্ৰতিটো দিশতে সকলো পদ পুৰণ কৰক আৰু দ্বিতীয়টোৰ প্ৰতিটো দিশৰ সকলো পদ \frac{4}{3}-ৰ দ্বাৰা পুৰণ কৰক৷

$$-\frac{1}{3}\times \frac{4}{3}x-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{3}\right)y=-\frac{1}{3}\times 16,\frac{4}{3}\left(-\frac{1}{3}\right)x+\frac{4}{3}\times \frac{1}{5}y=\frac{4}{3}\times 8$$

সৰলীকৰণ৷

$$-\frac{4}{9}x+\frac{1}{9}y=-\frac{16}{3},-\frac{4}{9}x+\frac{4}{15}y=\frac{32}{3}$$

সমান চিনৰ প্ৰতিটো দিশতে একে পদসমূহ বিয়োগ কৰি -\frac{4}{9}x+\frac{1}{9}y=-\frac{16}{3}-ৰ পৰা -\frac{4}{9}x+\frac{4}{15}y=\frac{32}{3} হৰণ কৰক৷

$$-\frac{4}{9}x+\frac{4}{9}x+\frac{1}{9}y-\frac{4}{15}y=\frac{-16-32}{3}$$

\frac{4x}{9} লৈ -\frac{4x}{9} যোগ কৰক৷ চৰ্তাৱলী -\frac{4x}{9} আৰু \frac{4x}{9} সমান, সমাধান কৰিব পৰা কেৱল এটা চলকৰ সৈতে এটা সমীকৰণ এৰক৷

$$\frac{1}{9}y-\frac{4}{15}y=\frac{-16-32}{3}$$

-\frac{4y}{15} লৈ \frac{y}{9} যোগ কৰক৷

$$-\frac{7}{45}y=\frac{-16-32}{3}$$

এটা উমৈহতীয়া বিভাজক বিচাৰি আৰু অংশ গণক যোগ কৰি -\frac{32}{3} লৈ -\frac{16}{3} যোগ কৰক৷ ইয়াৰ পিছত যদি সম্ভৱ হয়, তেতিয়া একেবাৰে সৰ্বনিম্ন সময় সীমালৈ ভগ্নাংশক হ্ৰাস কৰক৷

$$-\frac{7}{45}y=-16$$

-\frac{7}{45}-ৰ দ্বাৰা দুয়োটা দিশৰ সমীকৰণ হৰণ কৰক, যি ভগ্নাংশৰ ব্যতিক্ৰমৰ দ্বাৰা দুয়োটা দিশৰ গুণিতকৰ দৰে একে৷

$$y=\frac{720}{7}$$

-\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=8-ত y-ৰ বাবে \frac{720}{7}-ক স্থানাপন কৰক৷ কিয়নো ফলাফলৰ সমীকৰণত কেৱল এটা চলক আছে, আপুনি x-ৰ বাবে পোনপটীয়াকৈ সমাধান কৰিব পাৰে৷

$$-\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}\times \frac{720}{7}=8$$

নিউমাৰেটৰ টাইমক নিউমাৰেটৰে আৰু ডেনোমিনেটৰ টাইমক ডেনোমিনেটেৰ পুৰণ কৰি \frac{1}{5} বাৰ \frac{720}{7} পুৰণ কৰক৷ তাৰপাছত সম্ভৱ হ'লে ভগ্নাংশক নিম্নতম পদলৈ হ্ৰাস কৰক।

$$-\frac{1}{3}x+\frac{144}{7}=8$$

সমীকৰণৰ দুয়োটা দিশৰ পৰা \frac{144}{7} বিয়োগ কৰক৷

$$-\frac{1}{3}x=-\frac{88}{7}$$

-3-ৰ দ্বাৰা দুয়োটা ফাল পূৰণ কৰক৷

$$x=\frac{264}{7}$$

ছিষ্টেমটো এতিয়া ঠিক হৈছে৷

$$x=\frac{264}{7},y=\frac{720}{7}$$