{l}{y=kx+b}{x^2/4+y^2=1} সমাধান কৰক

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = k x + b } \\ { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + y ^ { 2 } = 1 } \end{array} \right.$$

x, y-ৰ বাবে সমাধান কৰক

$$x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{-2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}$$

$$x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}\text{, }|k|\geq \frac{\sqrt{b^{2}-1}}{2}\text{ or }|b|<1$$

চাবষ্টিটিউশ্বন আৰু কুৱাড্ৰেটিক সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰি পদক্ষেপসমূহ

প্ৰথম সমীকৰণটো বিবেচনা কৰক৷ দুয়োটা দিশৰ পৰা kx বিয়োগ কৰক৷

$$y-kx=b$$

দ্বিতীয় সমীকৰণটো বিবেচনা কৰক৷ 4-ৰ দ্বাৰা সমীকৰণৰ দুয়োটা দিশক পুৰণ কৰক৷

$$x^{2}+4y^{2}=4$$

চাবষ্টিটিউশ্বন ব্যৱহাৰ কৰি সমীকৰণৰ এটা যোৰা সমাধান কৰিবলৈ, চলকসমূহৰ এটাৰ বাবে সমীকৰণসমূহ প্ৰথমে সমাধান কৰক৷ ইয়াৰ পিছত অন্য সমীকৰণত এই চলকটোৰ বাবে ফলাফল স্থানাপন কৰক৷

$$y+\left(-k\right)x=b,x^{2}+4y^{2}=4$$

সমান চিনৰ বাওঁ দিশত থকা y পৃথক কৰি yৰ বাবে y+\left(-k\right)x=b সমাধান কৰক৷

$$y+\left(-k\right)x=b$$

সমীকৰণৰ দুয়োটা দিশৰ পৰা \left(-k\right)x বিয়োগ কৰক৷

$$y=kx+b$$

অন্য সমীকৰণত y-ৰ বাবে kx+b স্থানাপন কৰক, x^{2}+4y^{2}=4৷

$$x^{2}+4\left(kx+b\right)^{2}=4$$

বৰ্গ kx+b৷

$$x^{2}+4\left(k^{2}x^{2}+2bkx+b^{2}\right)=4$$

4 বাৰ k^{2}x^{2}+2bkx+b^{2} পুৰণ কৰক৷

$$x^{2}+4k^{2}x^{2}+8bkx+4b^{2}=4$$

4k^{2}x^{2} লৈ x^{2} যোগ কৰক৷

$$\left(4k^{2}+1\right)x^{2}+8bkx+4b^{2}=4$$

সমীকৰণৰ দুয়োটা দিশৰ পৰা 4 বিয়োগ কৰক৷

$$\left(4k^{2}+1\right)x^{2}+8bkx+4b^{2}-4=0$$

এই সমীকৰণটো এটা মান্য ৰূপত আছে: ax^{2}+bx+c=0. কুৱাড্ৰেটিক সূত্ৰ \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}-ত a-ৰ বাবে 1+4k^{2}, b-ৰ বাবে 4\times 2kb, c-ৰ বাবে -4+4b^{2} চাবষ্টিটিউট৷

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{\left(8bk\right)^{2}-4\left(4k^{2}+1\right)\left(4b^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

বৰ্গ 4\times 2kb৷

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{64b^{2}k^{2}-4\left(4k^{2}+1\right)\left(4b^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

-4 বাৰ 1+4k^{2} পুৰণ কৰক৷

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{64b^{2}k^{2}+\left(-16k^{2}-4\right)\left(4b^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

-4-16k^{2} বাৰ -4+4b^{2} পুৰণ কৰক৷

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{64b^{2}k^{2}-16\left(b^{2}-1\right)\left(4k^{2}+1\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

-16\left(1+4k^{2}\right)\left(b^{2}-1\right) লৈ 64k^{2}b^{2} যোগ কৰক৷

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{16+64k^{2}-16b^{2}}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

-16b^{2}+64k^{2}+16-ৰ বৰ্গমূল লওক৷

$$x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

2 বাৰ 1+4k^{2} পুৰণ কৰক৷

$$x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}$$

এতিয়া ± যোগ হ’লে সমীকৰণ x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2} সমাধান কৰক৷ 4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1} লৈ -8kb যোগ কৰক৷

$$x=\frac{-8bk+4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}$$

2+8k^{2}-ৰ দ্বাৰা -8bk+4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1} হৰণ কৰক৷

$$x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}$$

এতিয়া ± বিয়োগ হ’লে সমীকৰণ x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2} সমাধান কৰক৷ -8kb-ৰ পৰা 4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1} বিয়োগ কৰক৷

$$x=\frac{-8bk-4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}$$

2+8k^{2}-ৰ দ্বাৰা -8kb-4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1} হৰণ কৰক৷

$$x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}$$

x-ৰ বাবে দুটা সমাধান আছে: \frac{2\left(-2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} আৰু -\frac{2\left(2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}}৷ দুয়োটা সমীকৰণকে সন্তুষ্ট কৰিবৰ বাবে অনুৰূপ সমাধান বিচাৰিবলৈ সমীকৰণ y=kx+b y -ত x-ৰ বাবে \frac{2\left(-2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} চাবষ্টিটিউট কৰক৷

$$y=k\times \frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}+b$$

k বাৰ \frac{2\left(-2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} পুৰণ কৰক৷

$$y=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}k+b$$

সমীকৰণ y=kx+b-ত x-ৰ বাবে -\frac{2\left(2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} চাবষ্টিটিউট কৰক আৰু y দুয়োটা সমীকৰণকে সন্তুষ্ট কৰিবৰ বাবে অনুৰূপ সমাধান বিচাৰিবলৈ সমাধান কৰক৷

$$y=k\left(-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\right)+b$$

k বাৰ -\frac{2\left(2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} পুৰণ কৰক৷

$$y=\left(-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\right)k+b$$

ছিষ্টেমটো এতিয়া ঠিক হৈছে৷

$$y=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}k+b,x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{ or }y=\left(-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\right)k+b,x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}$$

x, y-ৰ বাবে সমাধান কৰক (জটিল সমাধান)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{-2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}\text{; }x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}\text{, }&k\neq -\frac{1}{2}i\text{ and }k\neq \frac{1}{2}i\\x=-\frac{b^{2}-1}{2bk}\text{, }y=\frac{b^{2}+1}{2b}\text{, }&b\neq 0\text{ and }\left(k=-\frac{1}{2}i\text{ or }k=\frac{1}{2}i\right)\end{matrix}\right.$$