{l}{9x+y=31}{5x-y=11} সমাধান কৰক

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 x + y = 31 } \\ { 5 x - y = 11 } \end{array} \right\}$$

x, y-ৰ বাবে সমাধান কৰক

$$x=3$$

$$y=4$$

চাবষ্টিটিউশ্বন ব্যৱহাৰ কৰি পদক্ষেপসমূহ

চাবষ্টিটিউশ্বন ব্যৱহাৰ কৰি সমীকৰণৰ এটা যোৰা সমাধান কৰিবলৈ, চলকসমূহৰ এটাৰ বাবে সমীকৰণসমূহ প্ৰথমে সমাধান কৰক৷ ইয়াৰ পিছত অন্য সমীকৰণত এই চলকটোৰ বাবে ফলাফল স্থানাপন কৰক৷

$$9x+y=31,5x-y=11$$

সমীকৰণসমূহৰ এটা পচন্দ কৰক আৰু সমান চিনৰ বাওঁ দিশে x পৃথক কৰি xৰ বাবে ইয়াক সমাধান কৰক৷

$$9x+y=31$$

সমীকৰণৰ দুয়োটা দিশৰ পৰা y বিয়োগ কৰক৷

$$9x=-y+31$$

9-ৰ দ্বাৰা দুয়োটা ফাল ভাগ কৰক৷

$$x=\frac{1}{9}\left(-y+31\right)$$

\frac{1}{9} বাৰ -y+31 পুৰণ কৰক৷

$$x=-\frac{1}{9}y+\frac{31}{9}$$

অন্য সমীকৰণত x-ৰ বাবে \frac{-y+31}{9} স্থানাপন কৰক, 5x-y=11৷

$$5\left(-\frac{1}{9}y+\frac{31}{9}\right)-y=11$$

5 বাৰ \frac{-y+31}{9} পুৰণ কৰক৷

$$-\frac{5}{9}y+\frac{155}{9}-y=11$$

-y লৈ -\frac{5y}{9} যোগ কৰক৷

$$-\frac{14}{9}y+\frac{155}{9}=11$$

সমীকৰণৰ দুয়োটা দিশৰ পৰা \frac{155}{9} বিয়োগ কৰক৷

$$-\frac{14}{9}y=-\frac{56}{9}$$

-\frac{14}{9}-ৰ দ্বাৰা দুয়োটা দিশৰ সমীকৰণ হৰণ কৰক, যি ভগ্নাংশৰ ব্যতিক্ৰমৰ দ্বাৰা দুয়োটা দিশৰ গুণিতকৰ দৰে একে৷

$$y=4$$

x=-\frac{1}{9}y+\frac{31}{9}-ত y-ৰ বাবে 4-ক স্থানাপন কৰক৷ কিয়নো ফলাফলৰ সমীকৰণত কেৱল এটা চলক আছে, আপুনি x-ৰ বাবে পোনপটীয়াকৈ সমাধান কৰিব পাৰে৷

$$x=-\frac{1}{9}\times 4+\frac{31}{9}$$

-\frac{1}{9} বাৰ 4 পুৰণ কৰক৷

$$x=\frac{-4+31}{9}$$

এটা উমৈহতীয়া বিভাজক বিচাৰি আৰু অংশ গণক যোগ কৰি -\frac{4}{9} লৈ \frac{31}{9} যোগ কৰক৷ ইয়াৰ পিছত যদি সম্ভৱ হয়, তেতিয়া একেবাৰে সৰ্বনিম্ন সময় সীমালৈ ভগ্নাংশক হ্ৰাস কৰক৷

$$x=3$$

ছিষ্টেমটো এতিয়া ঠিক হৈছে৷

$$x=3,y=4$$

মেট্ৰিক্সসমূহ ব্যৱহাৰ কৰি পদক্ষেপ

সমীকৰণসমূহক এটা মান্য ৰূপতৰাখক আৰু ইয়াৰ পিছত সমীকৰণসমূহৰ পদ্ধতি সমাধান কৰিবলৈ মেট্ৰিক্স ব্যৱহাৰ কৰক৷

$$9x+y=31,5x-y=11$$

মেট্ৰিক্স ৰূপত সমীকৰণ লিখক৷

$$\left(\begin{matrix}9&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}31\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}9&1\\5&-1\end{matrix}\right)ৰ বিপৰীত মেট্ৰিক্সৰে বাওঁফালৰ সমীকৰণটো পূৰণ কৰক৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\11\end{matrix}\right)$$

কোনো মেট্ৰিক্সৰ গুণফল আৰু ইয়াৰ বিপৰীতটো হৈছে পৰিচয় মেট্ৰিক্স৷

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\11\end{matrix}\right)$$

সমান চিনৰ বাওঁফালে থকা মেট্ৰিক্সবোৰ পূৰণ কৰক৷

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 মেট্ৰিক্স \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)-ৰ বাবে, বিপৰীত মেট্ৰিক্স \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), সেয়েহে মেট্ৰিক্স সমীকৰণটো মেট্ৰিক্স পূৰণ সমস্যা হিচাপে পুনৰ লিখিব পাৰি।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9\left(-1\right)-5}&-\frac{1}{9\left(-1\right)-5}\\-\frac{5}{9\left(-1\right)-5}&\frac{9}{9\left(-1\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\11\end{matrix}\right)$$

গণনা কৰক৷

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{1}{14}\\\frac{5}{14}&-\frac{9}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\11\end{matrix}\right)$$

মেট্ৰিক্সসমূহ পুৰণ কৰক৷

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 31+\frac{1}{14}\times 11\\\frac{5}{14}\times 31-\frac{9}{14}\times 11\end{matrix}\right)$$

গণনা কৰক৷

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

মেট্ৰিক্স উপাদান x আৰু y নিষ্কাষিত কৰক৷

$$x=3,y=4$$

এলিমিনেশ্বন ব্যৱহাৰ কৰি পদক্ষেপ

চলকসমূহৰ এটাৰ এলিমিনেশ্বন, ক'এফিচিয়েণ্টৰ দ্বাৰা সমাধান কৰিবলৈ দুয়োটা সমীকৰণতে একে থাকিব লাগিব, যাতে এটা সমীকৰণ অন্য এটাৰ পৰা বিয়োগ কৰিলে চলকটো সমান কৰিব পাৰি৷

$$9x+y=31,5x-y=11$$

9x আৰু 5x সমান কৰিবৰ বাবে, 5-ৰ দ্বাৰা প্ৰথম সমীকৰণৰ প্ৰতিটো দিশতে সকলো পদ পুৰণ কৰক আৰু দ্বিতীয়টোৰ প্ৰতিটো দিশৰ সকলো পদ 9-ৰ দ্বাৰা পুৰণ কৰক৷

$$5\times 9x+5y=5\times 31,9\times 5x+9\left(-1\right)y=9\times 11$$

সৰলীকৰণ৷

$$45x+5y=155,45x-9y=99$$

সমান চিনৰ প্ৰতিটো দিশতে একে পদসমূহ বিয়োগ কৰি 45x+5y=155-ৰ পৰা 45x-9y=99 হৰণ কৰক৷

$$45x-45x+5y+9y=155-99$$

-45x লৈ 45x যোগ কৰক৷ চৰ্তাৱলী 45x আৰু -45x সমান, সমাধান কৰিব পৰা কেৱল এটা চলকৰ সৈতে এটা সমীকৰণ এৰক৷

$$5y+9y=155-99$$

9y লৈ 5y যোগ কৰক৷

$$14y=155-99$$

-99 লৈ 155 যোগ কৰক৷

$$14y=56$$

14-ৰ দ্বাৰা দুয়োটা ফাল ভাগ কৰক৷

$$y=4$$

5x-y=11-ত y-ৰ বাবে 4-ক স্থানাপন কৰক৷ কিয়নো ফলাফলৰ সমীকৰণত কেৱল এটা চলক আছে, আপুনি x-ৰ বাবে পোনপটীয়াকৈ সমাধান কৰিব পাৰে৷

$$5x-4=11$$

সমীকৰণৰ দুয়োটা দিশতে 4 যোগ কৰক৷

$$5x=15$$

5-ৰ দ্বাৰা দুয়োটা ফাল ভাগ কৰক৷

$$x=3$$

ছিষ্টেমটো এতিয়া ঠিক হৈছে৷

$$x=3,y=4$$