{l}{2014x+2015y=8057}{2015x+2014y=8059} সমাধান কৰক

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2014 x + 2015 y = 8057 } \\ { 2015 x + 2014 y = 8059 } \end{array} \right.$$

x, y-ৰ বাবে সমাধান কৰক

$$x=3$$

$$y=1$$

চাবষ্টিটিউশ্বন ব্যৱহাৰ কৰি পদক্ষেপসমূহ

চাবষ্টিটিউশ্বন ব্যৱহাৰ কৰি সমীকৰণৰ এটা যোৰা সমাধান কৰিবলৈ, চলকসমূহৰ এটাৰ বাবে সমীকৰণসমূহ প্ৰথমে সমাধান কৰক৷ ইয়াৰ পিছত অন্য সমীকৰণত এই চলকটোৰ বাবে ফলাফল স্থানাপন কৰক৷

$$2014x+2015y=8057,2015x+2014y=8059$$

সমীকৰণসমূহৰ এটা পচন্দ কৰক আৰু সমান চিনৰ বাওঁ দিশে x পৃথক কৰি xৰ বাবে ইয়াক সমাধান কৰক৷

$$2014x+2015y=8057$$

সমীকৰণৰ দুয়োটা দিশৰ পৰা 2015y বিয়োগ কৰক৷

$$2014x=-2015y+8057$$

2014-ৰ দ্বাৰা দুয়োটা ফাল ভাগ কৰক৷

$$x=\frac{1}{2014}\left(-2015y+8057\right)$$

\frac{1}{2014} বাৰ -2015y+8057 পুৰণ কৰক৷

$$x=-\frac{2015}{2014}y+\frac{8057}{2014}$$

অন্য সমীকৰণত x-ৰ বাবে \frac{-2015y+8057}{2014} স্থানাপন কৰক, 2015x+2014y=8059৷

$$2015\left(-\frac{2015}{2014}y+\frac{8057}{2014}\right)+2014y=8059$$

2015 বাৰ \frac{-2015y+8057}{2014} পুৰণ কৰক৷

$$-\frac{4060225}{2014}y+\frac{16234855}{2014}+2014y=8059$$

2014y লৈ -\frac{4060225y}{2014} যোগ কৰক৷

$$-\frac{4029}{2014}y+\frac{16234855}{2014}=8059$$

সমীকৰণৰ দুয়োটা দিশৰ পৰা \frac{16234855}{2014} বিয়োগ কৰক৷

$$-\frac{4029}{2014}y=-\frac{4029}{2014}$$

-\frac{4029}{2014}-ৰ দ্বাৰা দুয়োটা দিশৰ সমীকৰণ হৰণ কৰক, যি ভগ্নাংশৰ ব্যতিক্ৰমৰ দ্বাৰা দুয়োটা দিশৰ গুণিতকৰ দৰে একে৷

$$y=1$$

x=-\frac{2015}{2014}y+\frac{8057}{2014}-ত y-ৰ বাবে 1-ক স্থানাপন কৰক৷ কিয়নো ফলাফলৰ সমীকৰণত কেৱল এটা চলক আছে, আপুনি x-ৰ বাবে পোনপটীয়াকৈ সমাধান কৰিব পাৰে৷

$$x=\frac{-2015+8057}{2014}$$

এটা উমৈহতীয়া বিভাজক বিচাৰি আৰু অংশ গণক যোগ কৰি -\frac{2015}{2014} লৈ \frac{8057}{2014} যোগ কৰক৷ ইয়াৰ পিছত যদি সম্ভৱ হয়, তেতিয়া একেবাৰে সৰ্বনিম্ন সময় সীমালৈ ভগ্নাংশক হ্ৰাস কৰক৷

$$x=3$$

ছিষ্টেমটো এতিয়া ঠিক হৈছে৷

$$x=3,y=1$$

মেট্ৰিক্সসমূহ ব্যৱহাৰ কৰি পদক্ষেপ

সমীকৰণসমূহক এটা মান্য ৰূপতৰাখক আৰু ইয়াৰ পিছত সমীকৰণসমূহৰ পদ্ধতি সমাধান কৰিবলৈ মেট্ৰিক্স ব্যৱহাৰ কৰক৷

$$2014x+2015y=8057,2015x+2014y=8059$$

মেট্ৰিক্স ৰূপত সমীকৰণ লিখক৷

$$\left(\begin{matrix}2014&2015\\2015&2014\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8057\\8059\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2014&2015\\2015&2014\end{matrix}\right)ৰ বিপৰীত মেট্ৰিক্সৰে বাওঁফালৰ সমীকৰণটো পূৰণ কৰক৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}2014&2015\\2015&2014\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2014&2015\\2015&2014\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2014&2015\\2015&2014\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8057\\8059\end{matrix}\right)$$

কোনো মেট্ৰিক্সৰ গুণফল আৰু ইয়াৰ বিপৰীতটো হৈছে পৰিচয় মেট্ৰিক্স৷

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2014&2015\\2015&2014\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8057\\8059\end{matrix}\right)$$

সমান চিনৰ বাওঁফালে থকা মেট্ৰিক্সবোৰ পূৰণ কৰক৷

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2014&2015\\2015&2014\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8057\\8059\end{matrix}\right)$$

2\times 2 মেট্ৰিক্স \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)-ৰ বাবে, বিপৰীত মেট্ৰিক্স \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), সেয়েহে মেট্ৰিক্স সমীকৰণটো মেট্ৰিক্স পূৰণ সমস্যা হিচাপে পুনৰ লিখিব পাৰি।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2014}{2014\times 2014-2015\times 2015}&-\frac{2015}{2014\times 2014-2015\times 2015}\\-\frac{2015}{2014\times 2014-2015\times 2015}&\frac{2014}{2014\times 2014-2015\times 2015}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8057\\8059\end{matrix}\right)$$

গণনা কৰক৷

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2014}{4029}&\frac{2015}{4029}\\\frac{2015}{4029}&-\frac{2014}{4029}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8057\\8059\end{matrix}\right)$$

মেট্ৰিক্সসমূহ পুৰণ কৰক৷

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2014}{4029}\times 8057+\frac{2015}{4029}\times 8059\\\frac{2015}{4029}\times 8057-\frac{2014}{4029}\times 8059\end{matrix}\right)$$

গণনা কৰক৷

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

মেট্ৰিক্স উপাদান x আৰু y নিষ্কাষিত কৰক৷

$$x=3,y=1$$

এলিমিনেশ্বন ব্যৱহাৰ কৰি পদক্ষেপ

চলকসমূহৰ এটাৰ এলিমিনেশ্বন, ক'এফিচিয়েণ্টৰ দ্বাৰা সমাধান কৰিবলৈ দুয়োটা সমীকৰণতে একে থাকিব লাগিব, যাতে এটা সমীকৰণ অন্য এটাৰ পৰা বিয়োগ কৰিলে চলকটো সমান কৰিব পাৰি৷

$$2014x+2015y=8057,2015x+2014y=8059$$

2014x আৰু 2015x সমান কৰিবৰ বাবে, 2015-ৰ দ্বাৰা প্ৰথম সমীকৰণৰ প্ৰতিটো দিশতে সকলো পদ পুৰণ কৰক আৰু দ্বিতীয়টোৰ প্ৰতিটো দিশৰ সকলো পদ 2014-ৰ দ্বাৰা পুৰণ কৰক৷

$$2015\times 2014x+2015\times 2015y=2015\times 8057,2014\times 2015x+2014\times 2014y=2014\times 8059$$

সৰলীকৰণ৷

$$4058210x+4060225y=16234855,4058210x+4056196y=16230826$$

সমান চিনৰ প্ৰতিটো দিশতে একে পদসমূহ বিয়োগ কৰি 4058210x+4060225y=16234855-ৰ পৰা 4058210x+4056196y=16230826 হৰণ কৰক৷

$$4058210x-4058210x+4060225y-4056196y=16234855-16230826$$

-4058210x লৈ 4058210x যোগ কৰক৷ চৰ্তাৱলী 4058210x আৰু -4058210x সমান, সমাধান কৰিব পৰা কেৱল এটা চলকৰ সৈতে এটা সমীকৰণ এৰক৷

$$4060225y-4056196y=16234855-16230826$$

-4056196y লৈ 4060225y যোগ কৰক৷

$$4029y=16234855-16230826$$

-16230826 লৈ 16234855 যোগ কৰক৷

$$4029y=4029$$

4029-ৰ দ্বাৰা দুয়োটা ফাল ভাগ কৰক৷

$$y=1$$

2015x+2014y=8059-ত y-ৰ বাবে 1-ক স্থানাপন কৰক৷ কিয়নো ফলাফলৰ সমীকৰণত কেৱল এটা চলক আছে, আপুনি x-ৰ বাবে পোনপটীয়াকৈ সমাধান কৰিব পাৰে৷

$$2015x+2014=8059$$

সমীকৰণৰ দুয়োটা দিশৰ পৰা 2014 বিয়োগ কৰক৷

$$2015x=6045$$

2015-ৰ দ্বাৰা দুয়োটা ফাল ভাগ কৰক৷

$$x=3$$

ছিষ্টেমটো এতিয়া ঠিক হৈছে৷

$$x=3,y=1$$