{l}{11x+19y=25}{19x+11y=15} সমাধান কৰক

$$\left\{ \begin{array} { l } { 11 x + 19 y = 25 } \\ { 19 x + 11 y = 15 } \end{array} \right.$$

x, y-ৰ বাবে সমাধান কৰক

$$x=\frac{1}{24}\approx 0.041666667$$

$$y = \frac{31}{24} = 1\frac{7}{24} \approx 1.291666667$$

চাবষ্টিটিউশ্বন ব্যৱহাৰ কৰি পদক্ষেপসমূহ

চাবষ্টিটিউশ্বন ব্যৱহাৰ কৰি সমীকৰণৰ এটা যোৰা সমাধান কৰিবলৈ, চলকসমূহৰ এটাৰ বাবে সমীকৰণসমূহ প্ৰথমে সমাধান কৰক৷ ইয়াৰ পিছত অন্য সমীকৰণত এই চলকটোৰ বাবে ফলাফল স্থানাপন কৰক৷

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

সমীকৰণসমূহৰ এটা পচন্দ কৰক আৰু সমান চিনৰ বাওঁ দিশে x পৃথক কৰি xৰ বাবে ইয়াক সমাধান কৰক৷

$$11x+19y=25$$

সমীকৰণৰ দুয়োটা দিশৰ পৰা 19y বিয়োগ কৰক৷

$$11x=-19y+25$$

11-ৰ দ্বাৰা দুয়োটা ফাল ভাগ কৰক৷

$$x=\frac{1}{11}\left(-19y+25\right)$$

\frac{1}{11} বাৰ -19y+25 পুৰণ কৰক৷

$$x=-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}$$

অন্য সমীকৰণত x-ৰ বাবে \frac{-19y+25}{11} স্থানাপন কৰক, 19x+11y=15৷

$$19\left(-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}\right)+11y=15$$

19 বাৰ \frac{-19y+25}{11} পুৰণ কৰক৷

$$-\frac{361}{11}y+\frac{475}{11}+11y=15$$

11y লৈ -\frac{361y}{11} যোগ কৰক৷

$$-\frac{240}{11}y+\frac{475}{11}=15$$

সমীকৰণৰ দুয়োটা দিশৰ পৰা \frac{475}{11} বিয়োগ কৰক৷

$$-\frac{240}{11}y=-\frac{310}{11}$$

-\frac{240}{11}-ৰ দ্বাৰা দুয়োটা দিশৰ সমীকৰণ হৰণ কৰক, যি ভগ্নাংশৰ ব্যতিক্ৰমৰ দ্বাৰা দুয়োটা দিশৰ গুণিতকৰ দৰে একে৷

$$y=\frac{31}{24}$$

x=-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}-ত y-ৰ বাবে \frac{31}{24}-ক স্থানাপন কৰক৷ কিয়নো ফলাফলৰ সমীকৰণত কেৱল এটা চলক আছে, আপুনি x-ৰ বাবে পোনপটীয়াকৈ সমাধান কৰিব পাৰে৷

$$x=-\frac{19}{11}\times \frac{31}{24}+\frac{25}{11}$$

নিউমাৰেটৰ টাইমক নিউমাৰেটৰে আৰু ডেনোমিনেটৰ টাইমক ডেনোমিনেটেৰ পুৰণ কৰি -\frac{19}{11} বাৰ \frac{31}{24} পুৰণ কৰক৷ তাৰপাছত সম্ভৱ হ'লে ভগ্নাংশক নিম্নতম পদলৈ হ্ৰাস কৰক।

$$x=-\frac{589}{264}+\frac{25}{11}$$

এটা উমৈহতীয়া বিভাজক বিচাৰি আৰু অংশ গণক যোগ কৰি -\frac{589}{264} লৈ \frac{25}{11} যোগ কৰক৷ ইয়াৰ পিছত যদি সম্ভৱ হয়, তেতিয়া একেবাৰে সৰ্বনিম্ন সময় সীমালৈ ভগ্নাংশক হ্ৰাস কৰক৷

$$x=\frac{1}{24}$$

ছিষ্টেমটো এতিয়া ঠিক হৈছে৷

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$

মেট্ৰিক্সসমূহ ব্যৱহাৰ কৰি পদক্ষেপ

সমীকৰণসমূহক এটা মান্য ৰূপতৰাখক আৰু ইয়াৰ পিছত সমীকৰণসমূহৰ পদ্ধতি সমাধান কৰিবলৈ মেট্ৰিক্স ব্যৱহাৰ কৰক৷

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

মেট্ৰিক্স ৰূপত সমীকৰণ লিখক৷

$$\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right)ৰ বিপৰীত মেট্ৰিক্সৰে বাওঁফালৰ সমীকৰণটো পূৰণ কৰক৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

কোনো মেট্ৰিক্সৰ গুণফল আৰু ইয়াৰ বিপৰীতটো হৈছে পৰিচয় মেট্ৰিক্স৷

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

সমান চিনৰ বাওঁফালে থকা মেট্ৰিক্সবোৰ পূৰণ কৰক৷

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 মেট্ৰিক্স \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)-ৰ বাবে, বিপৰীত মেট্ৰিক্স \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), সেয়েহে মেট্ৰিক্স সমীকৰণটো মেট্ৰিক্স পূৰণ সমস্যা হিচাপে পুনৰ লিখিব পাৰি।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{11\times 11-19\times 19}&-\frac{19}{11\times 11-19\times 19}\\-\frac{19}{11\times 11-19\times 19}&\frac{11}{11\times 11-19\times 19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

গণনা কৰক৷

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{240}&\frac{19}{240}\\\frac{19}{240}&-\frac{11}{240}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

মেট্ৰিক্সসমূহ পুৰণ কৰক৷

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{240}\times 25+\frac{19}{240}\times 15\\\frac{19}{240}\times 25-\frac{11}{240}\times 15\end{matrix}\right)$$

গণনা কৰক৷

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}\\\frac{31}{24}\end{matrix}\right)$$

মেট্ৰিক্স উপাদান x আৰু y নিষ্কাষিত কৰক৷

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$

এলিমিনেশ্বন ব্যৱহাৰ কৰি পদক্ষেপ

চলকসমূহৰ এটাৰ এলিমিনেশ্বন, ক'এফিচিয়েণ্টৰ দ্বাৰা সমাধান কৰিবলৈ দুয়োটা সমীকৰণতে একে থাকিব লাগিব, যাতে এটা সমীকৰণ অন্য এটাৰ পৰা বিয়োগ কৰিলে চলকটো সমান কৰিব পাৰি৷

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

11x আৰু 19x সমান কৰিবৰ বাবে, 19-ৰ দ্বাৰা প্ৰথম সমীকৰণৰ প্ৰতিটো দিশতে সকলো পদ পুৰণ কৰক আৰু দ্বিতীয়টোৰ প্ৰতিটো দিশৰ সকলো পদ 11-ৰ দ্বাৰা পুৰণ কৰক৷

$$19\times 11x+19\times 19y=19\times 25,11\times 19x+11\times 11y=11\times 15$$

সৰলীকৰণ৷

$$209x+361y=475,209x+121y=165$$

সমান চিনৰ প্ৰতিটো দিশতে একে পদসমূহ বিয়োগ কৰি 209x+361y=475-ৰ পৰা 209x+121y=165 হৰণ কৰক৷

$$209x-209x+361y-121y=475-165$$

-209x লৈ 209x যোগ কৰক৷ চৰ্তাৱলী 209x আৰু -209x সমান, সমাধান কৰিব পৰা কেৱল এটা চলকৰ সৈতে এটা সমীকৰণ এৰক৷

$$361y-121y=475-165$$

-121y লৈ 361y যোগ কৰক৷

$$240y=475-165$$

-165 লৈ 475 যোগ কৰক৷

$$240y=310$$

240-ৰ দ্বাৰা দুয়োটা ফাল ভাগ কৰক৷

$$y=\frac{31}{24}$$

19x+11y=15-ত y-ৰ বাবে \frac{31}{24}-ক স্থানাপন কৰক৷ কিয়নো ফলাফলৰ সমীকৰণত কেৱল এটা চলক আছে, আপুনি x-ৰ বাবে পোনপটীয়াকৈ সমাধান কৰিব পাৰে৷

$$19x+11\times \frac{31}{24}=15$$

11 বাৰ \frac{31}{24} পুৰণ কৰক৷

$$19x+\frac{341}{24}=15$$

সমীকৰণৰ দুয়োটা দিশৰ পৰা \frac{341}{24} বিয়োগ কৰক৷

$$19x=\frac{19}{24}$$

19-ৰ দ্বাৰা দুয়োটা ফাল ভাগ কৰক৷

$$x=\frac{1}{24}$$

ছিষ্টেমটো এতিয়া ঠিক হৈছে৷

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$