{l}{-3x+5y=1}{4x-y=10} সমাধান কৰক

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 3 x + 5 y = 1 } \\ { 4 x - y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y-ৰ বাবে সমাধান কৰক

$$x=3$$

$$y=2$$

চাবষ্টিটিউশ্বন ব্যৱহাৰ কৰি পদক্ষেপসমূহ

চাবষ্টিটিউশ্বন ব্যৱহাৰ কৰি সমীকৰণৰ এটা যোৰা সমাধান কৰিবলৈ, চলকসমূহৰ এটাৰ বাবে সমীকৰণসমূহ প্ৰথমে সমাধান কৰক৷ ইয়াৰ পিছত অন্য সমীকৰণত এই চলকটোৰ বাবে ফলাফল স্থানাপন কৰক৷

$$-3x+5y=1,4x-y=10$$

সমীকৰণসমূহৰ এটা পচন্দ কৰক আৰু সমান চিনৰ বাওঁ দিশে x পৃথক কৰি xৰ বাবে ইয়াক সমাধান কৰক৷

$$-3x+5y=1$$

সমীকৰণৰ দুয়োটা দিশৰ পৰা 5y বিয়োগ কৰক৷

$$-3x=-5y+1$$

-3-ৰ দ্বাৰা দুয়োটা ফাল ভাগ কৰক৷

$$x=-\frac{1}{3}\left(-5y+1\right)$$

-\frac{1}{3} বাৰ -5y+1 পুৰণ কৰক৷

$$x=\frac{5}{3}y-\frac{1}{3}$$

অন্য সমীকৰণত x-ৰ বাবে \frac{5y-1}{3} স্থানাপন কৰক, 4x-y=10৷

$$4\left(\frac{5}{3}y-\frac{1}{3}\right)-y=10$$

4 বাৰ \frac{5y-1}{3} পুৰণ কৰক৷

$$\frac{20}{3}y-\frac{4}{3}-y=10$$

-y লৈ \frac{20y}{3} যোগ কৰক৷

$$\frac{17}{3}y-\frac{4}{3}=10$$

সমীকৰণৰ দুয়োটা দিশতে \frac{4}{3} যোগ কৰক৷

$$\frac{17}{3}y=\frac{34}{3}$$

\frac{17}{3}-ৰ দ্বাৰা দুয়োটা দিশৰ সমীকৰণ হৰণ কৰক, যি ভগ্নাংশৰ ব্যতিক্ৰমৰ দ্বাৰা দুয়োটা দিশৰ গুণিতকৰ দৰে একে৷

$$y=2$$

x=\frac{5}{3}y-\frac{1}{3}-ত y-ৰ বাবে 2-ক স্থানাপন কৰক৷ কিয়নো ফলাফলৰ সমীকৰণত কেৱল এটা চলক আছে, আপুনি x-ৰ বাবে পোনপটীয়াকৈ সমাধান কৰিব পাৰে৷

$$x=\frac{5}{3}\times 2-\frac{1}{3}$$

\frac{5}{3} বাৰ 2 পুৰণ কৰক৷

$$x=\frac{10-1}{3}$$

এটা উমৈহতীয়া বিভাজক বিচাৰি আৰু অংশ গণক যোগ কৰি \frac{10}{3} লৈ -\frac{1}{3} যোগ কৰক৷ ইয়াৰ পিছত যদি সম্ভৱ হয়, তেতিয়া একেবাৰে সৰ্বনিম্ন সময় সীমালৈ ভগ্নাংশক হ্ৰাস কৰক৷

$$x=3$$

ছিষ্টেমটো এতিয়া ঠিক হৈছে৷

$$x=3,y=2$$

মেট্ৰিক্সসমূহ ব্যৱহাৰ কৰি পদক্ষেপ

সমীকৰণসমূহক এটা মান্য ৰূপতৰাখক আৰু ইয়াৰ পিছত সমীকৰণসমূহৰ পদ্ধতি সমাধান কৰিবলৈ মেট্ৰিক্স ব্যৱহাৰ কৰক৷

$$-3x+5y=1,4x-y=10$$

মেট্ৰিক্স ৰূপত সমীকৰণ লিখক৷

$$\left(\begin{matrix}-3&5\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-3&5\\4&-1\end{matrix}\right)ৰ বিপৰীত মেট্ৰিক্সৰে বাওঁফালৰ সমীকৰণটো পূৰণ কৰক৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&5\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right)$$

কোনো মেট্ৰিক্সৰ গুণফল আৰু ইয়াৰ বিপৰীতটো হৈছে পৰিচয় মেট্ৰিক্স৷

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right)$$

সমান চিনৰ বাওঁফালে থকা মেট্ৰিক্সবোৰ পূৰণ কৰক৷

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 মেট্ৰিক্স \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)-ৰ বাবে, বিপৰীত মেট্ৰিক্স \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), সেয়েহে মেট্ৰিক্স সমীকৰণটো মেট্ৰিক্স পূৰণ সমস্যা হিচাপে পুনৰ লিখিব পাৰি।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-3\left(-1\right)-5\times 4}&-\frac{5}{-3\left(-1\right)-5\times 4}\\-\frac{4}{-3\left(-1\right)-5\times 4}&-\frac{3}{-3\left(-1\right)-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right)$$

গণনা কৰক৷

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&\frac{5}{17}\\\frac{4}{17}&\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right)$$

মেট্ৰিক্সসমূহ পুৰণ কৰক৷

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}+\frac{5}{17}\times 10\\\frac{4}{17}+\frac{3}{17}\times 10\end{matrix}\right)$$

গণনা কৰক৷

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

মেট্ৰিক্স উপাদান x আৰু y নিষ্কাষিত কৰক৷

$$x=3,y=2$$

এলিমিনেশ্বন ব্যৱহাৰ কৰি পদক্ষেপ

চলকসমূহৰ এটাৰ এলিমিনেশ্বন, ক'এফিচিয়েণ্টৰ দ্বাৰা সমাধান কৰিবলৈ দুয়োটা সমীকৰণতে একে থাকিব লাগিব, যাতে এটা সমীকৰণ অন্য এটাৰ পৰা বিয়োগ কৰিলে চলকটো সমান কৰিব পাৰি৷

$$-3x+5y=1,4x-y=10$$

-3x আৰু 4x সমান কৰিবৰ বাবে, 4-ৰ দ্বাৰা প্ৰথম সমীকৰণৰ প্ৰতিটো দিশতে সকলো পদ পুৰণ কৰক আৰু দ্বিতীয়টোৰ প্ৰতিটো দিশৰ সকলো পদ -3-ৰ দ্বাৰা পুৰণ কৰক৷

$$4\left(-3\right)x+4\times 5y=4,-3\times 4x-3\left(-1\right)y=-3\times 10$$

সৰলীকৰণ৷

$$-12x+20y=4,-12x+3y=-30$$

সমান চিনৰ প্ৰতিটো দিশতে একে পদসমূহ বিয়োগ কৰি -12x+20y=4-ৰ পৰা -12x+3y=-30 হৰণ কৰক৷

$$-12x+12x+20y-3y=4+30$$

12x লৈ -12x যোগ কৰক৷ চৰ্তাৱলী -12x আৰু 12x সমান, সমাধান কৰিব পৰা কেৱল এটা চলকৰ সৈতে এটা সমীকৰণ এৰক৷

$$20y-3y=4+30$$

-3y লৈ 20y যোগ কৰক৷

$$17y=4+30$$

30 লৈ 4 যোগ কৰক৷

$$17y=34$$

17-ৰ দ্বাৰা দুয়োটা ফাল ভাগ কৰক৷

$$y=2$$

4x-y=10-ত y-ৰ বাবে 2-ক স্থানাপন কৰক৷ কিয়নো ফলাফলৰ সমীকৰণত কেৱল এটা চলক আছে, আপুনি x-ৰ বাবে পোনপটীয়াকৈ সমাধান কৰিব পাৰে৷

$$4x-2=10$$

সমীকৰণৰ দুয়োটা দিশতে 2 যোগ কৰক৷

$$4x=12$$

4-ৰ দ্বাৰা দুয়োটা ফাল ভাগ কৰক৷

$$x=3$$

ছিষ্টেমটো এতিয়া ঠিক হৈছে৷

$$x=3,y=2$$