{l}{x^2/4+y^2/3=1}{y=k(x+1)} সমাধান কৰক

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1 } \\ { y = k ( x + 1 ) } \end{array} \right.$$

x, y-ৰ বাবে সমাধান কৰক

$$x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(-2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}$$

$$x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}$$

চাবষ্টিটিউশ্বন আৰু কুৱাড্ৰেটিক সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰি পদক্ষেপসমূহ

প্ৰথম সমীকৰণটো বিবেচনা কৰক৷ 12ৰ দ্বাৰা সমীকৰণৰ দুয়োটা প্ৰান্ত পূৰণ কৰক, কমেও 4,3 ৰ সাধাৰণ বিভাজক৷

$$3x^{2}+4y^{2}=12$$

দ্বিতীয় সমীকৰণটো বিবেচনা কৰক৷ kক x+1ৰে পূৰণ কৰিবলৈ বিতৰক উপাদান ব্যৱহাৰ কৰক৷

$$y=kx+k$$

অন্য সমীকৰণত y-ৰ বাবে kx+k স্থানাপন কৰক, 3x^{2}+4y^{2}=12৷

$$3x^{2}+4\left(kx+k\right)^{2}=12$$

বৰ্গ kx+k৷

$$3x^{2}+4\left(k^{2}x^{2}+2kkx+k^{2}\right)=12$$

4 বাৰ k^{2}x^{2}+2kkx+k^{2} পুৰণ কৰক৷

$$3x^{2}+4k^{2}x^{2}+8k^{2}x+4k^{2}=12$$

4k^{2}x^{2} লৈ 3x^{2} যোগ কৰক৷

$$\left(4k^{2}+3\right)x^{2}+8k^{2}x+4k^{2}=12$$

সমীকৰণৰ দুয়োটা দিশৰ পৰা 12 বিয়োগ কৰক৷

$$\left(4k^{2}+3\right)x^{2}+8k^{2}x+4k^{2}-12=0$$

এই সমীকৰণটো এটা মান্য ৰূপত আছে: ax^{2}+bx+c=0. কুৱাড্ৰেটিক সূত্ৰ \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}-ত a-ৰ বাবে 3+4k^{2}, b-ৰ বাবে 4\times 2kk, c-ৰ বাবে 4k^{2}-12 চাবষ্টিটিউট৷

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{\left(8k^{2}\right)^{2}-4\left(4k^{2}+3\right)\left(4k^{2}-12\right)}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

বৰ্গ 4\times 2kk৷

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{64k^{4}-4\left(4k^{2}+3\right)\left(4k^{2}-12\right)}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

-4 বাৰ 3+4k^{2} পুৰণ কৰক৷

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{64k^{4}+\left(-16k^{2}-12\right)\left(4k^{2}-12\right)}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

-12-16k^{2} বাৰ 4k^{2}-12 পুৰণ কৰক৷

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{64k^{4}+144+144k^{2}-64k^{4}}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

144+144k^{2}-64k^{4} লৈ 64k^{4} যোগ কৰক৷

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{144k^{2}+144}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

144k^{2}+144-ৰ বৰ্গমূল লওক৷

$$x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

2 বাৰ 3+4k^{2} পুৰণ কৰক৷

$$x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6}$$

এতিয়া ± যোগ হ’লে সমীকৰণ x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6} সমাধান কৰক৷ 12\sqrt{k^{2}+1} লৈ -8k^{2} যোগ কৰক৷

$$x=\frac{-8k^{2}+12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6}$$

6+8k^{2}-ৰ দ্বাৰা -8k^{2}+12\sqrt{k^{2}+1} হৰণ কৰক৷

$$x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}$$

এতিয়া ± বিয়োগ হ’লে সমীকৰণ x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6} সমাধান কৰক৷ -8k^{2}-ৰ পৰা 12\sqrt{k^{2}+1} বিয়োগ কৰক৷

$$x=\frac{-8k^{2}-12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6}$$

6+8k^{2}-ৰ দ্বাৰা -8k^{2}-12\sqrt{k^{2}+1} হৰণ কৰক৷

$$x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}$$

x-ৰ বাবে দুটা সমাধান আছে: \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{3+4k^{2}} আৰু -\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{1+k^{2}}\right)}{3+4k^{2}}৷ দুয়োটা সমীকৰণকে সন্তুষ্ট কৰিবৰ বাবে অনুৰূপ সমাধান বিচাৰিবলৈ সমীকৰণ y=kx+k y -ত x-ৰ বাবে \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{3+4k^{2}} চাবষ্টিটিউট কৰক৷

$$y=k\times \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}+k$$

k বাৰ \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{3+4k^{2}} পুৰণ কৰক৷

$$y=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}k+k$$

সমীকৰণ y=kx+k-ত x-ৰ বাবে -\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{1+k^{2}}\right)}{3+4k^{2}} চাবষ্টিটিউট কৰক আৰু y দুয়োটা সমীকৰণকে সন্তুষ্ট কৰিবৰ বাবে অনুৰূপ সমাধান বিচাৰিবলৈ সমাধান কৰক৷

$$y=k\left(-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\right)+k$$

k বাৰ -\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{1+k^{2}}\right)}{3+4k^{2}} পুৰণ কৰক৷

$$y=\left(-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\right)k+k$$

ছিষ্টেমটো এতিয়া ঠিক হৈছে৷

$$y=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}k+k,x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{ or }y=\left(-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\right)k+k,x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}$$

x, y-ৰ বাবে সমাধান কৰক (জটিল সমাধান)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(-2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}\text{; }x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}\text{, }&k\neq -\frac{\sqrt{3}i}{2}\text{ and }k\neq \frac{\sqrt{3}i}{2}\\x=\frac{3-k^{2}}{2k^{2}}\text{, }y=\frac{k^{2}+3}{2k}\text{, }&k=-\frac{\sqrt{3}i}{2}\text{ or }k=\frac{\sqrt{3}i}{2}\end{matrix}\right.$$