حل 4x-3y=1text{and}x+2y=3

$$4 x - 3 y = 1 \text { and } x + 2 y = 3$$

حل مسائل x، y

$$x=1$$

$$y=1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x-3y=1,x+2y=3$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x-3y=1$$

أضف 3y إلى طرفي المعادلة.

$$4x=3y+1$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+1\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في 3y+1.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{3y+1}{4} في المعادلة الأخرى، x+2y=3.

$$\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}+2y=3$$

اجمع \frac{3y}{4} مع 2y.

$$\frac{11}{4}y+\frac{1}{4}=3$$

اطرح \frac{1}{4} من طرفي المعادلة.

$$\frac{11}{4}y=\frac{11}{4}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{11}{4}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{3+1}{4}$$

اجمع \frac{1}{4} مع \frac{3}{4} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x-3y=1,x+2y=3$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&-3\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{4\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{4\times 2-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{3}{11}\\-\frac{1}{11}&\frac{4}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}+\frac{3}{11}\times 3\\-\frac{1}{11}+\frac{4}{11}\times 3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=1,y=1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x-3y=1,x+2y=3$$

لجعل 4x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$4x-3y=1,4x+4\times 2y=4\times 3$$

تبسيط.

$$4x-3y=1,4x+8y=12$$

اطرح 4x+8y=12 من 4x-3y=1 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$4x-4x-3y-8y=1-12$$

اجمع 4x مع -4x. حذف الحدين 4x و-4x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-3y-8y=1-12$$

اجمع -3y مع -8y.

$$-11y=1-12$$

اجمع 1 مع -12.

$$-11y=-11$$

قسمة طرفي المعادلة على -11.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في x+2y=3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+2=3$$

اطرح 2 من طرفي المعادلة.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=1$$