حل sqrt{(7-x)^2+(1-y)^2}=sqrt{(3-x)^2+(5-y)^2}

$$\sqrt { ( 7 - x ) ^ { 2 } + ( 1 - y ) ^ { 2 } } = \sqrt { ( 3 - x ) ^ { 2 } + ( 5 - y ) ^ { 2 } }$$

حل مسائل x

$$x=y+2$$

خطوات الحل

تربيع طرفي المعادلة.

$$\left(\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

استخدم نظرية ثنائية الحد \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} لتوسيع \left(7-x\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

استخدم نظرية ثنائية الحد \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} لتوسيع \left(1-y\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+1-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

اجمع 49 مع 1 لتحصل على 50.

$$\left(\sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

احسب \sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}} بالأس 2 لتحصل على 50-14x+x^{2}-2y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

استخدم نظرية ثنائية الحد \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} لتوسيع \left(3-x\right)^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

استخدم نظرية ثنائية الحد \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} لتوسيع \left(5-y\right)^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+25-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

اجمع 9 مع 25 لتحصل على 34.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

احسب \sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}} بالأس 2 لتحصل على 34-6x+x^{2}-10y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=34-6x+x^{2}-10y+y^{2}$$

إضافة 6x لكلا الجانبين.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}+6x=34+x^{2}-10y+y^{2}$$

اجمع -14x مع 6x لتحصل على -8x.

$$50-8x+x^{2}-2y+y^{2}=34+x^{2}-10y+y^{2}$$

اطرح x^{2} من الطرفين.

$$50-8x+x^{2}-2y+y^{2}-x^{2}=34-10y+y^{2}$$

اجمع x^{2} مع -x^{2} لتحصل على 0.

$$50-8x-2y+y^{2}=34-10y+y^{2}$$

اطرح 50 من الطرفين.

$$-8x-2y+y^{2}=34-10y+y^{2}-50$$

اطرح 50 من 34 لتحصل على -16.

$$-8x-2y+y^{2}=-16-10y+y^{2}$$

إضافة 2y لكلا الجانبين.

$$-8x+y^{2}=-16-10y+y^{2}+2y$$

اجمع -10y مع 2y لتحصل على -8y.

$$-8x+y^{2}=-16-8y+y^{2}$$

اطرح y^{2} من الطرفين.

$$-8x=-16-8y+y^{2}-y^{2}$$

اجمع y^{2} مع -y^{2} لتحصل على 0.

$$-8x=-16-8y$$

المعادلة بالصيغة العامة.

$$-8x=-8y-16$$

قسمة طرفي المعادلة على -8.

$$\frac{-8x}{-8}=\frac{-8y-16}{-8}$$

القسمة على -8 تؤدي إلى التراجع عن الضرب في -8.

$$x=\frac{-8y-16}{-8}$$

اقسم -16-8y على -8.

$$x=y+2$$

استبدال y+2 بـ x في المعادلة \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(7-\left(y+2\right)\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-\left(y+2\right)\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}$$

تبسيط. تفي القيمة x=y+2 بالمعادلة.

$$\left(2y^{2}-12y+26\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2y^{2}-12y+26\right)^{\frac{1}{2}}$$

للمعادلة \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}} حل فريد.

$$x=y+2$$

حل مسائل y

$$y=x-2$$

خطوات الحل

تربيع طرفي المعادلة.

$$\left(\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

استخدم نظرية ثنائية الحد \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} لتوسيع \left(7-x\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

استخدم نظرية ثنائية الحد \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} لتوسيع \left(1-y\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+1-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

اجمع 49 مع 1 لتحصل على 50.

$$\left(\sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

احسب \sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}} بالأس 2 لتحصل على 50-14x+x^{2}-2y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

استخدم نظرية ثنائية الحد \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} لتوسيع \left(3-x\right)^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

استخدم نظرية ثنائية الحد \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} لتوسيع \left(5-y\right)^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+25-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

اجمع 9 مع 25 لتحصل على 34.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

احسب \sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}} بالأس 2 لتحصل على 34-6x+x^{2}-10y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=34-6x+x^{2}-10y+y^{2}$$

إضافة 10y لكلا الجانبين.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}+10y=34-6x+x^{2}+y^{2}$$

اجمع -2y مع 10y لتحصل على 8y.

$$50-14x+x^{2}+8y+y^{2}=34-6x+x^{2}+y^{2}$$

اطرح y^{2} من الطرفين.

$$50-14x+x^{2}+8y+y^{2}-y^{2}=34-6x+x^{2}$$

اجمع y^{2} مع -y^{2} لتحصل على 0.

$$50-14x+x^{2}+8y=34-6x+x^{2}$$

اطرح 50 من الطرفين.

$$-14x+x^{2}+8y=34-6x+x^{2}-50$$

اطرح 50 من 34 لتحصل على -16.

$$-14x+x^{2}+8y=-16-6x+x^{2}$$

إضافة 14x لكلا الجانبين.

$$x^{2}+8y=-16-6x+x^{2}+14x$$

اجمع -6x مع 14x لتحصل على 8x.

$$x^{2}+8y=-16+8x+x^{2}$$

اطرح x^{2} من الطرفين.

$$8y=-16+8x+x^{2}-x^{2}$$

اجمع x^{2} مع -x^{2} لتحصل على 0.

$$8y=-16+8x$$

المعادلة بالصيغة العامة.

$$8y=8x-16$$

قسمة طرفي المعادلة على 8.

$$\frac{8y}{8}=\frac{8x-16}{8}$$

القسمة على 8 تؤدي إلى التراجع عن الضرب في 8.

$$y=\frac{8x-16}{8}$$

اقسم -16+8x على 8.

$$y=x-2$$

استبدال x-2 بـ y في المعادلة \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-\left(x-2\right)\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-\left(x-2\right)\right)^{2}}$$

تبسيط. تفي القيمة y=x-2 بالمعادلة.

$$\left(2x^{2}-20x+58\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2x^{2}-20x+58\right)^{\frac{1}{2}}$$

للمعادلة \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}} حل فريد.

$$y=x-2$$