حل {l}{x-2y=5}{3x-y=10}

$$\left.\begin{array} { l } { x - 2 y = 5 } \\ { 3 x - y = 10 } \end{array} \right\}$$

حل مسائل x، y

$$x=3$$

$$y=-1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x-2y=5,3x-y=10$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x-2y=5$$

أضف 2y إلى طرفي المعادلة.

$$x=2y+5$$

عوّض عن x بالقيمة 2y+5 في المعادلة الأخرى، 3x-y=10.

$$3\left(2y+5\right)-y=10$$

اضرب 3 في 2y+5.

$$6y+15-y=10$$

اجمع 6y مع -y.

$$5y+15=10$$

اطرح 15 من طرفي المعادلة.

$$5y=-5$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في x=2y+5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=2\left(-1\right)+5$$

اضرب 2 في -1.

$$x=-2+5$$

اجمع 5 مع -2.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=-1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x-2y=5,3x-y=10$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-2\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{-1-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{-1-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{-1-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 5+\frac{2}{5}\times 10\\-\frac{3}{5}\times 5+\frac{1}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=3,y=-1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x-2y=5,3x-y=10$$

لجعل x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$3x+3\left(-2\right)y=3\times 5,3x-y=10$$

تبسيط.

$$3x-6y=15,3x-y=10$$

اطرح 3x-y=10 من 3x-6y=15 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$3x-3x-6y+y=15-10$$

اجمع 3x مع -3x. حذف الحدين 3x و-3x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-6y+y=15-10$$

اجمع -6y مع y.

$$-5y=15-10$$

اجمع 15 مع -10.

$$-5y=5$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في 3x-y=10. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x-\left(-1\right)=10$$

اطرح 1 من طرفي المعادلة.

$$3x=9$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=-1$$