حل {l}{10x+2y=-78}{-3x-2y=-29}

$$\left.\begin{array} { l } { 10 x + 2 y = - 78 } \\ { - 3 x - 2 y = - 29 } \end{array} \right\}$$

حل مسائل x، y

$$x = -\frac{107}{7} = -15\frac{2}{7} \approx -15.285714286$$

$$y = \frac{262}{7} = 37\frac{3}{7} \approx 37.428571429$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$10x+2y=-78,-3x-2y=-29$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$10x+2y=-78$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$10x=-2y-78$$

قسمة طرفي المعادلة على 10.

$$x=\frac{1}{10}\left(-2y-78\right)$$

اضرب \frac{1}{10} في -2y-78.

$$x=-\frac{1}{5}y-\frac{39}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-y-39}{5} في المعادلة الأخرى، -3x-2y=-29.

$$-3\left(-\frac{1}{5}y-\frac{39}{5}\right)-2y=-29$$

اضرب -3 في \frac{-y-39}{5}.

$$\frac{3}{5}y+\frac{117}{5}-2y=-29$$

اجمع \frac{3y}{5} مع -2y.

$$-\frac{7}{5}y+\frac{117}{5}=-29$$

اطرح \frac{117}{5} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{7}{5}y=-\frac{262}{5}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{7}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{262}{7}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{262}{7} في x=-\frac{1}{5}y-\frac{39}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{5}\times \frac{262}{7}-\frac{39}{5}$$

اضرب -\frac{1}{5} في \frac{262}{7} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{262}{35}-\frac{39}{5}$$

اجمع -\frac{39}{5} مع -\frac{262}{35} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{107}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{107}{7},y=\frac{262}{7}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$10x+2y=-78,-3x-2y=-29$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{10\left(-2\right)-2\left(-3\right)}&-\frac{2}{10\left(-2\right)-2\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{10\left(-2\right)-2\left(-3\right)}&\frac{10}{10\left(-2\right)-2\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{3}{14}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-78\right)+\frac{1}{7}\left(-29\right)\\-\frac{3}{14}\left(-78\right)-\frac{5}{7}\left(-29\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{107}{7}\\\frac{262}{7}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{107}{7},y=\frac{262}{7}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$10x+2y=-78,-3x-2y=-29$$

لجعل 10x و-3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 10.

$$-3\times 10x-3\times 2y=-3\left(-78\right),10\left(-3\right)x+10\left(-2\right)y=10\left(-29\right)$$

تبسيط.

$$-30x-6y=234,-30x-20y=-290$$

اطرح -30x-20y=-290 من -30x-6y=234 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-30x+30x-6y+20y=234+290$$

اجمع -30x مع 30x. حذف الحدين -30x و30x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-6y+20y=234+290$$

اجمع -6y مع 20y.

$$14y=234+290$$

اجمع 234 مع 290.

$$14y=524$$

قسمة طرفي المعادلة على 14.

$$y=\frac{262}{7}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{262}{7} في -3x-2y=-29. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-3x-2\times \frac{262}{7}=-29$$

اضرب -2 في \frac{262}{7}.

$$-3x-\frac{524}{7}=-29$$

أضف \frac{524}{7} إلى طرفي المعادلة.

$$-3x=\frac{321}{7}$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$x=-\frac{107}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{107}{7},y=\frac{262}{7}$$