حل {l}{x+4y=-13}{-4x-6y=32}

$$\left. \begin{array}{l}{ x + 4 y = - 13 }\\{ - 4 x - 6 y = 32 }\end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-5$$

$$y=-2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+4y=-13,-4x-6y=32$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+4y=-13$$

اطرح 4y من طرفي المعادلة.

$$x=-4y-13$$

عوّض عن x بالقيمة -4y-13 في المعادلة الأخرى، -4x-6y=32.

$$-4\left(-4y-13\right)-6y=32$$

اضرب -4 في -4y-13.

$$16y+52-6y=32$$

اجمع 16y مع -6y.

$$10y+52=32$$

اطرح 52 من طرفي المعادلة.

$$10y=-20$$

قسمة طرفي المعادلة على 10.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في x=-4y-13. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-4\left(-2\right)-13$$

اضرب -4 في -2.

$$x=8-13$$

اجمع -13 مع 8.

$$x=-5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-5,y=-2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+4y=-13,-4x-6y=32$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\-4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-13\\32\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&4\\-4&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\-4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\32\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\32\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\32\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-6-4\left(-4\right)}&-\frac{4}{-6-4\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{-6-4\left(-4\right)}&\frac{1}{-6-4\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\32\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\\\frac{2}{5}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\32\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\left(-13\right)-\frac{2}{5}\times 32\\\frac{2}{5}\left(-13\right)+\frac{1}{10}\times 32\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-5,y=-2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+4y=-13,-4x-6y=32$$

لجعل x و-4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$-4x-4\times 4y=-4\left(-13\right),-4x-6y=32$$

تبسيط.

$$-4x-16y=52,-4x-6y=32$$

اطرح -4x-6y=32 من -4x-16y=52 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-4x+4x-16y+6y=52-32$$

اجمع -4x مع 4x. حذف الحدين -4x و4x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-16y+6y=52-32$$

اجمع -16y مع 6y.

$$-10y=52-32$$

اجمع 52 مع -32.

$$-10y=20$$

قسمة طرفي المعادلة على -10.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في -4x-6y=32. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-4x-6\left(-2\right)=32$$

اضرب -6 في -2.

$$-4x+12=32$$

اطرح 12 من طرفي المعادلة.

$$-4x=20$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$x=-5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-5,y=-2$$