حل {l}{4a+2b=34}{16a+3b=91}

$$\left. \begin{array}{l}{ 4 a + 2 b = 34 }\\{ 16 a + 3 b = 91 }\end{array} \right.$$

حل مسائل a، b

$$a=4$$

$$b=9$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4a+2b=34,16a+3b=91$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة a بعزل a على يسار علامة التساوي.

$$4a+2b=34$$

اطرح 2b من طرفي المعادلة.

$$4a=-2b+34$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$a=\frac{1}{4}\left(-2b+34\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في -2b+34.

$$a=-\frac{1}{2}b+\frac{17}{2}$$

عوّض عن a بالقيمة \frac{-b+17}{2} في المعادلة الأخرى، 16a+3b=91.

$$16\left(-\frac{1}{2}b+\frac{17}{2}\right)+3b=91$$

اضرب 16 في \frac{-b+17}{2}.

$$-8b+136+3b=91$$

اجمع -8b مع 3b.

$$-5b+136=91$$

اطرح 136 من طرفي المعادلة.

$$-5b=-45$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$b=9$$

عوّض عن b بالقيمة 9 في a=-\frac{1}{2}b+\frac{17}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a مباشرةً.

$$a=-\frac{1}{2}\times 9+\frac{17}{2}$$

اضرب -\frac{1}{2} في 9.

$$a=\frac{-9+17}{2}$$

اجمع \frac{17}{2} مع -\frac{9}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$a=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=4,b=9$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4a+2b=34,16a+3b=91$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\16&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}34\\91\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&2\\16&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\16&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\91\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\91\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\91\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-2\times 16}&-\frac{2}{4\times 3-2\times 16}\\-\frac{16}{4\times 3-2\times 16}&\frac{4}{4\times 3-2\times 16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}34\\91\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{20}&\frac{1}{10}\\\frac{4}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}34\\91\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{20}\times 34+\frac{1}{10}\times 91\\\frac{4}{5}\times 34-\frac{1}{5}\times 91\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\9\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة a وb.

$$a=4,b=9$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4a+2b=34,16a+3b=91$$

لجعل 4a و16a متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 16 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$16\times 4a+16\times 2b=16\times 34,4\times 16a+4\times 3b=4\times 91$$

تبسيط.

$$64a+32b=544,64a+12b=364$$

اطرح 64a+12b=364 من 64a+32b=544 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$64a-64a+32b-12b=544-364$$

اجمع 64a مع -64a. حذف الحدين 64a و-64a، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$32b-12b=544-364$$

اجمع 32b مع -12b.

$$20b=544-364$$

اجمع 544 مع -364.

$$20b=180$$

قسمة طرفي المعادلة على 20.

$$b=9$$

عوّض عن b بالقيمة 9 في 16a+3b=91. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a مباشرةً.

$$16a+3\times 9=91$$

اضرب 3 في 9.

$$16a+27=91$$

اطرح 27 من طرفي المعادلة.

$$16a=64$$

قسمة طرفي المعادلة على 16.

$$a=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=4,b=9$$