حل {r}{5x+6y=18}{5x-10y=-50}

$$\left. \begin{array} { r } { 5 x + 6 y = 18 } \\ { 5 x - 10 y = - 50 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$y = \frac{17}{4} = 4\frac{1}{4} = 4.25$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x+6y=18,5x-10y=-50$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x+6y=18$$

اطرح 6y من طرفي المعادلة.

$$5x=-6y+18$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-6y+18\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في -6y+18.

$$x=-\frac{6}{5}y+\frac{18}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-6y+18}{5} في المعادلة الأخرى، 5x-10y=-50.

$$5\left(-\frac{6}{5}y+\frac{18}{5}\right)-10y=-50$$

اضرب 5 في \frac{-6y+18}{5}.

$$-6y+18-10y=-50$$

اجمع -6y مع -10y.

$$-16y+18=-50$$

اطرح 18 من طرفي المعادلة.

$$-16y=-68$$

قسمة طرفي المعادلة على -16.

$$y=\frac{17}{4}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{17}{4} في x=-\frac{6}{5}y+\frac{18}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{6}{5}\times \frac{17}{4}+\frac{18}{5}$$

اضرب -\frac{6}{5} في \frac{17}{4} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{51}{10}+\frac{18}{5}$$

اجمع \frac{18}{5} مع -\frac{51}{10} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{3}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{3}{2},y=\frac{17}{4}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x+6y=18,5x-10y=-50$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&6\\5&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\-50\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&6\\5&-10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\5&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&6\\5&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\5&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\-50\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\5&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\-50\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\5&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\-50\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{5\left(-10\right)-6\times 5}&-\frac{6}{5\left(-10\right)-6\times 5}\\-\frac{5}{5\left(-10\right)-6\times 5}&\frac{5}{5\left(-10\right)-6\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\-50\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{3}{40}\\\frac{1}{16}&-\frac{1}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\-50\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 18+\frac{3}{40}\left(-50\right)\\\frac{1}{16}\times 18-\frac{1}{16}\left(-50\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}\\\frac{17}{4}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{3}{2},y=\frac{17}{4}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x+6y=18,5x-10y=-50$$

اطرح 5x-10y=-50 من 5x+6y=18 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$5x-5x+6y+10y=18+50$$

اجمع 5x مع -5x. حذف الحدين 5x و-5x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$6y+10y=18+50$$

اجمع 6y مع 10y.

$$16y=18+50$$

اجمع 18 مع 50.

$$16y=68$$

قسمة طرفي المعادلة على 16.

$$y=\frac{17}{4}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{17}{4} في 5x-10y=-50. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$5x-10\times \frac{17}{4}=-50$$

اضرب -10 في \frac{17}{4}.

$$5x-\frac{85}{2}=-50$$

أضف \frac{85}{2} إلى طرفي المعادلة.

$$5x=-\frac{15}{2}$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=-\frac{3}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{3}{2},y=\frac{17}{4}$$