حل {r}{2x+5y=33}{x+3y=19}

$$\left. \begin{array} { r } { 2 x + 5 y = 33 } \\ { x + 3 y = 19 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=4$$

$$y=5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+5y=33,x+3y=19$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+5y=33$$

اطرح 5y من طرفي المعادلة.

$$2x=-5y+33$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+33\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -5y+33.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{33}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-5y+33}{2} في المعادلة الأخرى، x+3y=19.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{33}{2}+3y=19$$

اجمع -\frac{5y}{2} مع 3y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{33}{2}=19$$

اطرح \frac{33}{2} من طرفي المعادلة.

$$\frac{1}{2}y=\frac{5}{2}$$

ضرب طرفي المعادلة في 2.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في x=-\frac{5}{2}y+\frac{33}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{5}{2}\times 5+\frac{33}{2}$$

اضرب -\frac{5}{2} في 5.

$$x=\frac{-25+33}{2}$$

اجمع \frac{33}{2} مع -\frac{25}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=4,y=5$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+5y=33,x+3y=19$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}33\\19\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}33\\19\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}33\\19\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}33\\19\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-5}&-\frac{5}{2\times 3-5}\\-\frac{1}{2\times 3-5}&\frac{2}{2\times 3-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}33\\19\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-5\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}33\\19\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 33-5\times 19\\-33+2\times 19\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=4,y=5$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+5y=33,x+3y=19$$

لجعل 2x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$2x+5y=33,2x+2\times 3y=2\times 19$$

تبسيط.

$$2x+5y=33,2x+6y=38$$

اطرح 2x+6y=38 من 2x+5y=33 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-2x+5y-6y=33-38$$

اجمع 2x مع -2x. حذف الحدين 2x و-2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$5y-6y=33-38$$

اجمع 5y مع -6y.

$$-y=33-38$$

اجمع 33 مع -38.

$$-y=-5$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في x+3y=19. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+3\times 5=19$$

اضرب 3 في 5.

$$x+15=19$$

اطرح 15 من طرفي المعادلة.

$$x=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=4,y=5$$