حل {r}{2x+3y=7}{5x+2y=1}

$$\left. \begin{array} { r } { 2 x + 3 y = 7 } \\ { 5 x + 2 y = 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-1$$

$$y=3$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+3y=7,5x+2y=1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+3y=7$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$2x=-3y+7$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+7\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -3y+7.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{7}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-3y+7}{2} في المعادلة الأخرى، 5x+2y=1.

$$5\left(-\frac{3}{2}y+\frac{7}{2}\right)+2y=1$$

اضرب 5 في \frac{-3y+7}{2}.

$$-\frac{15}{2}y+\frac{35}{2}+2y=1$$

اجمع -\frac{15y}{2} مع 2y.

$$-\frac{11}{2}y+\frac{35}{2}=1$$

اطرح \frac{35}{2} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{11}{2}y=-\frac{33}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{11}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=3$$

عوّض عن y بالقيمة 3 في x=-\frac{3}{2}y+\frac{7}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{2}\times 3+\frac{7}{2}$$

اضرب -\frac{3}{2} في 3.

$$x=\frac{-9+7}{2}$$

اجمع \frac{7}{2} مع -\frac{9}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=3$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+3y=7,5x+2y=1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&3\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3\times 5}&-\frac{3}{2\times 2-3\times 5}\\-\frac{5}{2\times 2-3\times 5}&\frac{2}{2\times 2-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}&\frac{3}{11}\\\frac{5}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}\times 7+\frac{3}{11}\\\frac{5}{11}\times 7-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-1,y=3$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+3y=7,5x+2y=1$$

لجعل 2x و5x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$5\times 2x+5\times 3y=5\times 7,2\times 5x+2\times 2y=2$$

تبسيط.

$$10x+15y=35,10x+4y=2$$

اطرح 10x+4y=2 من 10x+15y=35 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$10x-10x+15y-4y=35-2$$

اجمع 10x مع -10x. حذف الحدين 10x و-10x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$15y-4y=35-2$$

اجمع 15y مع -4y.

$$11y=35-2$$

اجمع 35 مع -2.

$$11y=33$$

قسمة طرفي المعادلة على 11.

$$y=3$$

عوّض عن y بالقيمة 3 في 5x+2y=1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$5x+2\times 3=1$$

اضرب 2 في 3.

$$5x+6=1$$

اطرح 6 من طرفي المعادلة.

$$5x=-5$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=3$$