حل {r}{-x+3y=4}{-7x+12y=12}

$$\left. \begin{array} { r } { - x + 3 y = 4 } \\ { - 7 x + 12 y = 12 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$y = \frac{16}{9} = 1\frac{7}{9} \approx 1.777777778$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-x+3y=4,-7x+12y=12$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-x+3y=4$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$-x=-3y+4$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$x=-\left(-3y+4\right)$$

اضرب -1 في -3y+4.

$$x=3y-4$$

عوّض عن x بالقيمة 3y-4 في المعادلة الأخرى، -7x+12y=12.

$$-7\left(3y-4\right)+12y=12$$

اضرب -7 في 3y-4.

$$-21y+28+12y=12$$

اجمع -21y مع 12y.

$$-9y+28=12$$

اطرح 28 من طرفي المعادلة.

$$-9y=-16$$

قسمة طرفي المعادلة على -9.

$$y=\frac{16}{9}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{16}{9} في x=3y-4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=3\times \frac{16}{9}-4$$

اضرب 3 في \frac{16}{9}.

$$x=\frac{16}{3}-4$$

اجمع -4 مع \frac{16}{3}.

$$x=\frac{4}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{16}{9}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-x+3y=4,-7x+12y=12$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-1&3\\-7&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-1&3\\-7&12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\-7&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&3\\-7&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\-7&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\-7&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\-7&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{-12-3\left(-7\right)}&-\frac{3}{-12-3\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{-12-3\left(-7\right)}&-\frac{1}{-12-3\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{7}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\times 4-\frac{1}{3}\times 12\\\frac{7}{9}\times 4-\frac{1}{9}\times 12\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\\frac{16}{9}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{16}{9}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-x+3y=4,-7x+12y=12$$

لجعل -x و-7x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -7 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -1.

$$-7\left(-1\right)x-7\times 3y=-7\times 4,-\left(-7\right)x-12y=-12$$

تبسيط.

$$7x-21y=-28,7x-12y=-12$$

اطرح 7x-12y=-12 من 7x-21y=-28 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$7x-7x-21y+12y=-28+12$$

اجمع 7x مع -7x. حذف الحدين 7x و-7x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-21y+12y=-28+12$$

اجمع -21y مع 12y.

$$-9y=-28+12$$

اجمع -28 مع 12.

$$-9y=-16$$

قسمة طرفي المعادلة على -9.

$$y=\frac{16}{9}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{16}{9} في -7x+12y=12. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-7x+12\times \frac{16}{9}=12$$

اضرب 12 في \frac{16}{9}.

$$-7x+\frac{64}{3}=12$$

اطرح \frac{64}{3} من طرفي المعادلة.

$$-7x=-\frac{28}{3}$$

قسمة طرفي المعادلة على -7.

$$x=\frac{4}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{16}{9}$$