حل {r}{-7x+2y=-39}{9x-5y=55}

$$\left. \begin{array} { r } { - 7 x + 2 y = - 39 } \\ { 9 x - 5 y = 55 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=5$$

$$y=-2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-7x+2y=-39,9x-5y=55$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-7x+2y=-39$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$-7x=-2y-39$$

قسمة طرفي المعادلة على -7.

$$x=-\frac{1}{7}\left(-2y-39\right)$$

اضرب -\frac{1}{7} في -2y-39.

$$x=\frac{2}{7}y+\frac{39}{7}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{2y+39}{7} في المعادلة الأخرى، 9x-5y=55.

$$9\left(\frac{2}{7}y+\frac{39}{7}\right)-5y=55$$

اضرب 9 في \frac{2y+39}{7}.

$$\frac{18}{7}y+\frac{351}{7}-5y=55$$

اجمع \frac{18y}{7} مع -5y.

$$-\frac{17}{7}y+\frac{351}{7}=55$$

اطرح \frac{351}{7} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{17}{7}y=\frac{34}{7}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{17}{7}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في x=\frac{2}{7}y+\frac{39}{7}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{2}{7}\left(-2\right)+\frac{39}{7}$$

اضرب \frac{2}{7} في -2.

$$x=\frac{-4+39}{7}$$

اجمع \frac{39}{7} مع -\frac{4}{7} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=5,y=-2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-7x+2y=-39,9x-5y=55$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-39\\55\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\55\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\55\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\55\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-7\left(-5\right)-2\times 9}&-\frac{2}{-7\left(-5\right)-2\times 9}\\-\frac{9}{-7\left(-5\right)-2\times 9}&-\frac{7}{-7\left(-5\right)-2\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-39\\55\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{17}&-\frac{2}{17}\\-\frac{9}{17}&-\frac{7}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-39\\55\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{17}\left(-39\right)-\frac{2}{17}\times 55\\-\frac{9}{17}\left(-39\right)-\frac{7}{17}\times 55\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=5,y=-2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-7x+2y=-39,9x-5y=55$$

لجعل -7x و9x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 9 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -7.

$$9\left(-7\right)x+9\times 2y=9\left(-39\right),-7\times 9x-7\left(-5\right)y=-7\times 55$$

تبسيط.

$$-63x+18y=-351,-63x+35y=-385$$

اطرح -63x+35y=-385 من -63x+18y=-351 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-63x+63x+18y-35y=-351+385$$

اجمع -63x مع 63x. حذف الحدين -63x و63x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$18y-35y=-351+385$$

اجمع 18y مع -35y.

$$-17y=-351+385$$

اجمع -351 مع 385.

$$-17y=34$$

قسمة طرفي المعادلة على -17.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في 9x-5y=55. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$9x-5\left(-2\right)=55$$

اضرب -5 في -2.

$$9x+10=55$$

اطرح 10 من طرفي المعادلة.

$$9x=45$$

قسمة طرفي المعادلة على 9.

$$x=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=5,y=-2$$