حل {l}{y=6x}{x+y+y=315.9}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 6 x } \\ { x + y + y = 315.9 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x=24.3$$

$$y=145.8$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 6x من الطرفين.

$$y-6x=0$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اجمع y مع y لتحصل على 2y.

$$x+2y=315.9$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$y-6x=0,2y+x=315.9$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$y-6x=0$$

أضف 6x إلى طرفي المعادلة.

$$y=6x$$

عوّض عن y بالقيمة 6x في المعادلة الأخرى، 2y+x=315.9.

$$2\times 6x+x=315.9$$

اضرب 2 في 6x.

$$12x+x=315.9$$

اجمع 12x مع x.

$$13x=315.9$$

قسمة طرفي المعادلة على 13.

$$x=24.3$$

عوّض عن x بالقيمة 24.3 في y=6x. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=6\times 24.3$$

اضرب 6 في 24.3.

$$y=145.8$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=145.8,x=24.3$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 6x من الطرفين.

$$y-6x=0$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اجمع y مع y لتحصل على 2y.

$$x+2y=315.9$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$y-6x=0,2y+x=315.9$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-6\times 2\right)}&-\frac{-6}{1-\left(-6\times 2\right)}\\-\frac{2}{1-\left(-6\times 2\right)}&\frac{1}{1-\left(-6\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{6}{13}\\-\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{13}\times 315.9\\\frac{1}{13}\times 315.9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{729}{5}\\\frac{243}{10}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=\frac{729}{5},x=\frac{243}{10}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 6x من الطرفين.

$$y-6x=0$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اجمع y مع y لتحصل على 2y.

$$x+2y=315.9$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$y-6x=0,2y+x=315.9$$

لجعل y و2y متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$2y+2\left(-6\right)x=0,2y+x=315.9$$

تبسيط.

$$2y-12x=0,2y+x=315.9$$

اطرح 2y+x=315.9 من 2y-12x=0 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2y-2y-12x-x=-315.9$$

اجمع 2y مع -2y. حذف الحدين 2y و-2y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-12x-x=-315.9$$

اجمع -12x مع -x.

$$-13x=-315.9$$

قسمة طرفي المعادلة على -13.

$$x=\frac{243}{10}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{243}{10} في 2y+x=315.9. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$2y+\frac{243}{10}=315.9$$

اطرح \frac{243}{10} من طرفي المعادلة.

$$2y=\frac{1458}{5}$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$y=\frac{729}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=\frac{729}{5},x=\frac{243}{10}$$