حل {l}{y=3x+4}{y=-4x}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 3 x + 4 } \\ { y = - 4 x } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x=-\frac{4}{7}\approx -0.571428571$$

$$y = \frac{16}{7} = 2\frac{2}{7} \approx 2.285714286$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 3x من الطرفين.

$$y-3x=4$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 4x لكلا الجانبين.

$$y+4x=0$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$y-3x=4,y+4x=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$y-3x=4$$

أضف 3x إلى طرفي المعادلة.

$$y=3x+4$$

عوّض عن y بالقيمة 3x+4 في المعادلة الأخرى، y+4x=0.

$$3x+4+4x=0$$

اجمع 3x مع 4x.

$$7x+4=0$$

اطرح 4 من طرفي المعادلة.

$$7x=-4$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$x=-\frac{4}{7}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{4}{7} في y=3x+4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=3\left(-\frac{4}{7}\right)+4$$

اضرب 3 في -\frac{4}{7}.

$$y=-\frac{12}{7}+4$$

اجمع 4 مع -\frac{12}{7}.

$$y=\frac{16}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=\frac{16}{7},x=-\frac{4}{7}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 3x من الطرفين.

$$y-3x=4$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 4x لكلا الجانبين.

$$y+4x=0$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$y-3x=4,y+4x=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-3\\1&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{4-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{4-\left(-3\right)}&\frac{1}{4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}\times 4\\-\frac{1}{7}\times 4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{7}\\-\frac{4}{7}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=\frac{16}{7},x=-\frac{4}{7}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 3x من الطرفين.

$$y-3x=4$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 4x لكلا الجانبين.

$$y+4x=0$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$y-3x=4,y+4x=0$$

اطرح y+4x=0 من y-3x=4 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$y-y-3x-4x=4$$

اجمع y مع -y. حذف الحدين y و-y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-3x-4x=4$$

اجمع -3x مع -4x.

$$-7x=4$$

قسمة طرفي المعادلة على -7.

$$x=-\frac{4}{7}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{4}{7} في y+4x=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y+4\left(-\frac{4}{7}\right)=0$$

اضرب 4 في -\frac{4}{7}.

$$y-\frac{16}{7}=0$$

أضف \frac{16}{7} إلى طرفي المعادلة.

$$y=\frac{16}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=\frac{16}{7},x=-\frac{4}{7}$$