حل {l}{y=2x-2}{y=-5x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x - 2 } \\ { y = - 5 x + 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x=\frac{3}{7}\approx 0.428571429$$

$$y = -\frac{8}{7} = -1\frac{1}{7} \approx -1.142857143$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 2x من الطرفين.

$$y-2x=-2$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 5x لكلا الجانبين.

$$y+5x=1$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$y-2x=-2,y+5x=1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$y-2x=-2$$

أضف 2x إلى طرفي المعادلة.

$$y=2x-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2+2x في المعادلة الأخرى، y+5x=1.

$$2x-2+5x=1$$

اجمع 2x مع 5x.

$$7x-2=1$$

أضف 2 إلى طرفي المعادلة.

$$7x=3$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$x=\frac{3}{7}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{3}{7} في y=2x-2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=2\times \frac{3}{7}-2$$

اضرب 2 في \frac{3}{7}.

$$y=\frac{6}{7}-2$$

اجمع -2 مع \frac{6}{7}.

$$y=-\frac{8}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=-\frac{8}{7},x=\frac{3}{7}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 2x من الطرفين.

$$y-2x=-2$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 5x لكلا الجانبين.

$$y+5x=1$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$y-2x=-2,y+5x=1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{5-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{5-\left(-2\right)}&\frac{1}{5-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}\left(-2\right)+\frac{2}{7}\\-\frac{1}{7}\left(-2\right)+\frac{1}{7}\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{7}\\\frac{3}{7}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=-\frac{8}{7},x=\frac{3}{7}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 2x من الطرفين.

$$y-2x=-2$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 5x لكلا الجانبين.

$$y+5x=1$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$y-2x=-2,y+5x=1$$

اطرح y+5x=1 من y-2x=-2 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$y-y-2x-5x=-2-1$$

اجمع y مع -y. حذف الحدين y و-y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-2x-5x=-2-1$$

اجمع -2x مع -5x.

$$-7x=-2-1$$

اجمع -2 مع -1.

$$-7x=-3$$

قسمة طرفي المعادلة على -7.

$$x=\frac{3}{7}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{3}{7} في y+5x=1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y+5\times \frac{3}{7}=1$$

اضرب 5 في \frac{3}{7}.

$$y+\frac{15}{7}=1$$

اطرح \frac{15}{7} من طرفي المعادلة.

$$y=-\frac{8}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=-\frac{8}{7},x=\frac{3}{7}$$