حل {l}{y=-x+5}{y=2x-1}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - x + 5 } \\ { y = 2 x - 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x=2$$

$$y=3$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة x لكلا الجانبين.

$$y+x=5$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 2x من الطرفين.

$$y-2x=-1$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$y+x=5,y-2x=-1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$y+x=5$$

اطرح x من طرفي المعادلة.

$$y=-x+5$$

عوّض عن y بالقيمة -x+5 في المعادلة الأخرى، y-2x=-1.

$$-x+5-2x=-1$$

اجمع -x مع -2x.

$$-3x+5=-1$$

اطرح 5 من طرفي المعادلة.

$$-3x=-6$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$x=2$$

عوّض عن x بالقيمة 2 في y=-x+5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=-2+5$$

اجمع 5 مع -2.

$$y=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=3,x=2$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة x لكلا الجانبين.

$$y+x=5$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 2x من الطرفين.

$$y-2x=-1$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$y+x=5,y-2x=-1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-1}&-\frac{1}{-2-1}\\-\frac{1}{-2-1}&\frac{1}{-2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 5+\frac{1}{3}\left(-1\right)\\\frac{1}{3}\times 5-\frac{1}{3}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=3,x=2$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة x لكلا الجانبين.

$$y+x=5$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 2x من الطرفين.

$$y-2x=-1$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$y+x=5,y-2x=-1$$

اطرح y-2x=-1 من y+x=5 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$y-y+x+2x=5+1$$

اجمع y مع -y. حذف الحدين y و-y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$x+2x=5+1$$

اجمع x مع 2x.

$$3x=5+1$$

اجمع 5 مع 1.

$$3x=6$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=2$$

عوّض عن x بالقيمة 2 في y-2x=-1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y-2\times 2=-1$$

اضرب -2 في 2.

$$y-4=-1$$

أضف 4 إلى طرفي المعادلة.

$$y=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=3,x=2$$