حل {l}{y=x/3-3}{4x+y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { x } { 3 } - 3 } \\ { 4 x + y = - 3 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x=0$$

$$y=-3$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح \frac{x}{3} من الطرفين.

$$y-\frac{x}{3}=-3$$

اضرب طرفي المعادلة في 3.

$$3y-x=-9$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3y-x=-9,y+4x=-3$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$3y-x=-9$$

أضف x إلى طرفي المعادلة.

$$3y=x-9$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$y=\frac{1}{3}\left(x-9\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في x-9.

$$y=\frac{1}{3}x-3$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{x}{3}-3 في المعادلة الأخرى، y+4x=-3.

$$\frac{1}{3}x-3+4x=-3$$

اجمع \frac{x}{3} مع 4x.

$$\frac{13}{3}x-3=-3$$

أضف 3 إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{13}{3}x=0$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{13}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=0$$

عوّض عن x بالقيمة 0 في y=\frac{1}{3}x-3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=-3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=-3,x=0$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح \frac{x}{3} من الطرفين.

$$y-\frac{x}{3}=-3$$

اضرب طرفي المعادلة في 3.

$$3y-x=-9$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3y-x=-9,y+4x=-3$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3\times 4-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3\times 4-\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}&\frac{1}{13}\\-\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}\left(-9\right)+\frac{1}{13}\left(-3\right)\\-\frac{1}{13}\left(-9\right)+\frac{3}{13}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=-3,x=0$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح \frac{x}{3} من الطرفين.

$$y-\frac{x}{3}=-3$$

اضرب طرفي المعادلة في 3.

$$3y-x=-9$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3y-x=-9,y+4x=-3$$

لجعل 3y وy متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$3y-x=-9,3y+3\times 4x=3\left(-3\right)$$

تبسيط.

$$3y-x=-9,3y+12x=-9$$

اطرح 3y+12x=-9 من 3y-x=-9 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$3y-3y-x-12x=-9+9$$

اجمع 3y مع -3y. حذف الحدين 3y و-3y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-x-12x=-9+9$$

اجمع -x مع -12x.

$$-13x=-9+9$$

اجمع -9 مع 9.

$$-13x=0$$

قسمة طرفي المعادلة على -13.

$$x=0$$

عوّض عن x بالقيمة 0 في y+4x=-3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=-3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=-3,x=0$$