حل {l}{x-3y=11}{11y+4x=12}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 3 y = 11 } \\ { 11 y + 4 x = 12 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{157}{23} = 6\frac{19}{23} \approx 6.826086957$$

$$y = -\frac{32}{23} = -1\frac{9}{23} \approx -1.391304348$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x-3y=11,4x+11y=12$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x-3y=11$$

أضف 3y إلى طرفي المعادلة.

$$x=3y+11$$

عوّض عن x بالقيمة 3y+11 في المعادلة الأخرى، 4x+11y=12.

$$4\left(3y+11\right)+11y=12$$

اضرب 4 في 3y+11.

$$12y+44+11y=12$$

اجمع 12y مع 11y.

$$23y+44=12$$

اطرح 44 من طرفي المعادلة.

$$23y=-32$$

قسمة طرفي المعادلة على 23.

$$y=-\frac{32}{23}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{32}{23} في x=3y+11. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=3\left(-\frac{32}{23}\right)+11$$

اضرب 3 في -\frac{32}{23}.

$$x=-\frac{96}{23}+11$$

اجمع 11 مع -\frac{96}{23}.

$$x=\frac{157}{23}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{157}{23},y=-\frac{32}{23}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x-3y=11,4x+11y=12$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\12\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\12\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\12\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\12\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{11-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{11-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{11-\left(-3\times 4\right)}&\frac{1}{11-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\12\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{23}&\frac{3}{23}\\-\frac{4}{23}&\frac{1}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\12\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{23}\times 11+\frac{3}{23}\times 12\\-\frac{4}{23}\times 11+\frac{1}{23}\times 12\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{157}{23}\\-\frac{32}{23}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{157}{23},y=-\frac{32}{23}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x-3y=11,4x+11y=12$$

لجعل x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$4x+4\left(-3\right)y=4\times 11,4x+11y=12$$

تبسيط.

$$4x-12y=44,4x+11y=12$$

اطرح 4x+11y=12 من 4x-12y=44 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$4x-4x-12y-11y=44-12$$

اجمع 4x مع -4x. حذف الحدين 4x و-4x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-12y-11y=44-12$$

اجمع -12y مع -11y.

$$-23y=44-12$$

اجمع 44 مع -12.

$$-23y=32$$

قسمة طرفي المعادلة على -23.

$$y=-\frac{32}{23}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{32}{23} في 4x+11y=12. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x+11\left(-\frac{32}{23}\right)=12$$

اضرب 11 في -\frac{32}{23}.

$$4x-\frac{352}{23}=12$$

أضف \frac{352}{23} إلى طرفي المعادلة.

$$4x=\frac{628}{23}$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{157}{23}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{157}{23},y=-\frac{32}{23}$$