حل {l}{x-10y=-14}{-5x-8y=12}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 10 y = - 14 } \\ { - 5 x - 8 y = 12 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-4$$

$$y=1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x-10y=-14,-5x-8y=12$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x-10y=-14$$

أضف 10y إلى طرفي المعادلة.

$$x=10y-14$$

عوّض عن x بالقيمة 10y-14 في المعادلة الأخرى، -5x-8y=12.

$$-5\left(10y-14\right)-8y=12$$

اضرب -5 في 10y-14.

$$-50y+70-8y=12$$

اجمع -50y مع -8y.

$$-58y+70=12$$

اطرح 70 من طرفي المعادلة.

$$-58y=-58$$

قسمة طرفي المعادلة على -58.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في x=10y-14. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=10-14$$

اجمع -14 مع 10.

$$x=-4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-4,y=1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x-10y=-14,-5x-8y=12$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-10\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\12\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-10\\-5&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-10\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\12\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\12\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\12\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-8-\left(-10\left(-5\right)\right)}&-\frac{-10}{-8-\left(-10\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{-8-\left(-10\left(-5\right)\right)}&\frac{1}{-8-\left(-10\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\12\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{29}&-\frac{5}{29}\\-\frac{5}{58}&-\frac{1}{58}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\12\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{29}\left(-14\right)-\frac{5}{29}\times 12\\-\frac{5}{58}\left(-14\right)-\frac{1}{58}\times 12\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-4,y=1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x-10y=-14,-5x-8y=12$$

لجعل x و-5x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$-5x-5\left(-10\right)y=-5\left(-14\right),-5x-8y=12$$

تبسيط.

$$-5x+50y=70,-5x-8y=12$$

اطرح -5x-8y=12 من -5x+50y=70 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-5x+5x+50y+8y=70-12$$

اجمع -5x مع 5x. حذف الحدين -5x و5x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$50y+8y=70-12$$

اجمع 50y مع 8y.

$$58y=70-12$$

اجمع 70 مع -12.

$$58y=58$$

قسمة طرفي المعادلة على 58.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في -5x-8y=12. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-5x-8=12$$

أضف 8 إلى طرفي المعادلة.

$$-5x=20$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$x=-4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-4,y=1$$