حل {l}{x+y=69}{7x+y=87}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 69 } \\ { 7 x + y = 87 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=3$$

$$y=66$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=69,7x+y=87$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=69$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+69$$

عوّض عن x بالقيمة -y+69 في المعادلة الأخرى، 7x+y=87.

$$7\left(-y+69\right)+y=87$$

اضرب 7 في -y+69.

$$-7y+483+y=87$$

اجمع -7y مع y.

$$-6y+483=87$$

اطرح 483 من طرفي المعادلة.

$$-6y=-396$$

قسمة طرفي المعادلة على -6.

$$y=66$$

عوّض عن y بالقيمة 66 في x=-y+69. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-66+69$$

اجمع 69 مع -66.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=66$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=69,7x+y=87$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\7&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-7}&-\frac{1}{1-7}\\-\frac{7}{1-7}&\frac{1}{1-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{7}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 69+\frac{1}{6}\times 87\\\frac{7}{6}\times 69-\frac{1}{6}\times 87\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\66\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=3,y=66$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=69,7x+y=87$$

اطرح 7x+y=87 من x+y=69 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$x-7x+y-y=69-87$$

اجمع y مع -y. حذف الحدين y و-y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$x-7x=69-87$$

اجمع x مع -7x.

$$-6x=69-87$$

اجمع 69 مع -87.

$$-6x=-18$$

قسمة طرفي المعادلة على -6.

$$x=3$$

عوّض عن x بالقيمة 3 في 7x+y=87. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$7\times 3+y=87$$

اضرب 7 في 3.

$$21+y=87$$

اطرح 21 من طرفي المعادلة.

$$y=66$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=66$$