حل {l}{x+y=240}{0.12x+0.06y=240*0.08}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 240 } \\ { 0.12 x + 0.06 y = 240 \times 0.08 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=80$$

$$y=160$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=240,0.12x+0.06y=19.2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=240$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+240$$

عوّض عن x بالقيمة -y+240 في المعادلة الأخرى، 0.12x+0.06y=19.2.

$$0.12\left(-y+240\right)+0.06y=19.2$$

اضرب 0.12 في -y+240.

$$-0.12y+28.8+0.06y=19.2$$

اجمع -\frac{3y}{25} مع \frac{3y}{50}.

$$-0.06y+28.8=19.2$$

اطرح 28.8 من طرفي المعادلة.

$$-0.06y=-9.6$$

اقسم طرفي المعادلة على -0.06، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=160$$

عوّض عن y بالقيمة 160 في x=-y+240. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-160+240$$

اجمع 240 مع -160.

$$x=80$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=80,y=160$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=240,0.12x+0.06y=19.2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.06}{0.06-0.12}&-\frac{1}{0.06-0.12}\\-\frac{0.12}{0.06-0.12}&\frac{1}{0.06-0.12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{50}{3}\\2&-\frac{50}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-240+\frac{50}{3}\times 19.2\\2\times 240-\frac{50}{3}\times 19.2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}80\\160\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=80,y=160$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=240,0.12x+0.06y=19.2$$

لجعل x و\frac{3x}{25} متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 0.12 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$0.12x+0.12y=0.12\times 240,0.12x+0.06y=19.2$$

تبسيط.

$$0.12x+0.12y=28.8,0.12x+0.06y=19.2$$

اطرح 0.12x+0.06y=19.2 من 0.12x+0.12y=28.8 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$0.12x-0.12x+0.12y-0.06y=\frac{144-96}{5}$$

اجمع \frac{3x}{25} مع -\frac{3x}{25}. حذف الحدين \frac{3x}{25} و-\frac{3x}{25}، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$0.12y-0.06y=\frac{144-96}{5}$$

اجمع \frac{3y}{25} مع -\frac{3y}{50}.

$$0.06y=\frac{144-96}{5}$$

اجمع 28.8 مع -19.2 من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$0.06y=9.6$$

اقسم طرفي المعادلة على 0.06، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=160$$

عوّض عن y بالقيمة 160 في 0.12x+0.06y=19.2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$0.12x+0.06\times 160=19.2$$

اضرب 0.06 في 160.

$$0.12x+9.6=19.2$$

اطرح 9.6 من طرفي المعادلة.

$$0.12x=9.6$$

اقسم طرفي المعادلة على 0.12، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=80$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=80,y=160$$